《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）洛必达法则

高等数学 主计 方本堂 第二节洛必达法则 0 不定式极限 0 二 ”不定式极限 00 三.其他不定式极限

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第二节 洛必达法则 一. 不定式极限 0 0 二. 不定式极限   三.其他不定式极限

函数的性态 微分中值定理 1i 导数的性态 本节研究： 0 函数之商的极限im M(x) 或 型) 8(x) 00 转化 洛必达法则 导数之商的极限im f'() g(x)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究: 洛必达法则

等数学 主讲 苏本堂 型未定式 0 定理1. 1)lim f(x)=lim F(x)=0 x->a x→a 2)f(x)与F(x)在U(a)内可导，且F'(x)≠0 3)lim fC) xaF(x) 存在（或为00） 则 lim f(x) lim f( xa F(x) xaF'(x) (洛必达法则

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a   → 存在 (或为 ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x a x a   = → → 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导,   定理 1. 型未定式 0 0 则 (洛必达法则)

定理条件：1)limf(x)=limF(x)=0 x→a x→q 2)f(x)与F(x)在U(a内可导，且F'(x)≠0 3)lim f(x) x->a F(x) 存在（或为0） 证：无妨假设f(a)=F(a)=0,在指出的邻域内任取 x≠a,则f(x),F(x)在以x,a为端点的区间上满足柯 西定理条件，故 f(x)-f(x)-f(a_∫'(5) (5在x,a之间) F(x)F(x)-F(a) F'(5) lim f() lim '( 3) lim I'() xaF(x) x-→aF'(5) xa F'(x)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (  在 x , a 之间) 证: 无妨假设 f (a) = F(a) = 0, 在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上满足柯 故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( )   F f   = ( ) ( ) lim   F f x a   = → 3) 定理条件: 西定理条件, ( ) ( ) 3) lim F x f x x a   → 存在 (或为 ) 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导,  

等数学 主计 苏本堂 洛必达法则 lim f(x) = →aF(x) xaF'(x) 推论1.定理1中x→a换为 x→a，x→a,x→0，x>+00,x→-0 之一，条件2)作相应的修改，定理1仍然成立 推论2.若1imf四仍属9型，且f,5'()满足定 F'(x) 0 理1条件，则 lim=lim=lim F(x) F'(x) F"(x)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 推论1. 定理 1 中 x →a 换为 , → − x a 之一, 推论 2. 若 ( ) ( ) lim F x f x   理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. x → +, 洛必达法则

x3-3r+2 例1.求lim 型 13-2-r+1 0 解：原式=lim 3r2-3 x-→1 3x2-2x-1 6x 3 lim x16x-22 注意：不是未定式不能用洛必达法则！ 6x lim ≠m。=1 x-16x-2 x-→16

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 求 解: 原式 lim →1 = x 型 0 0 6 2 6 lim 1 − = → x x x 2 3 = 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 6 2 6 lim →1 x − x x 1 6 6 lim 1 =  x→ 3 3 2 x − 3 2 1 2 x − x −

方本 -arctan x 0 例2.求1im 型 x→+00 1 0 X 2 解：原式=lim 1+x X→+0 00 型 x 00 x2 lim +01+x2 lim x+0+1 arctan n 思考：如何求im (n为正整数)？ n-→o 1 n

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 求 解: 原式 lim →+ = x 型 0 0 2 2 1 lim x x x + = →+ =1 2 1 1 + x − 2 1 x − 1 1 lim 2 1 + = →+ x x 思考: 如何求 n n n 1 2 arctan lim − →  ( n 为正整数) ? 型  

0 型未定式 0 定理2. 1)lim f(x)=lim F(x)=o x0 x->a 2)f(x)与F(x)在U(a)内可导，且F'(x)≠0 3) lim I'(x) 存在（或为o) xaF'(x) 则 lim (x) lim f( (洛必达法则) x→aF(x) x-→aF'(x) 注：定理中x→a换为X→a,x→a,x→0， X→+00，X→-00之一 条件2)作相应的修改，定理仍然成立

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、   型未定式 ( ) ( ) 3) lim F x f x x a   → 存在 (或为∞) ( ) ( ) lim F x f x x→a 定理 2. ( ) ( ) lim F x f x x a   = → (洛必达法则) 2) f (x)与F(x) 在 (a)内可导,   则 注: 定理中 x →a 换为 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立. , → + x a , → − x a x →, x → +, x →−

主计 苏本堂 例3.求lim Inx 00 (n>0). 型 x->+00 xn 1 解：原式=lim 1 t= lim- =0 -→+o∞1nrn 例4.求lim x->toelx (n>0,元>0) 型 00 解：(1)n为正整数的情形 原式=lim nxn-1 lim n(n-1)xn-2 X→+00 X>+0∞ Reax n! == lim =0 x-too mex

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3. 求 解: 型   原式 1 1 lim − →+ = n x x nx n x nx 1 lim →+ = = 0 例4. 求 解: (1) n 为正整数的情形. 原式 = 0 x n x e nx   1 lim − →+ = x n x e n n x   2 2 ( 1) lim − →+ − = n x x e n   ! lim →+ == lim (  0 ,  0). →+   n e x x n x 型  

例4.求lim x” x>toelx (n>0,2>0) (2)n不为正整数的情形 存在正整数k,使当x>1时， xhtoeAx =0 xtex lim- =0 Ax x→+0e

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例4. 求 lim (  0 ,  0). →+   n e x x n x (2) n 不为正整数的情形. n x 从而 x n e x   x k e x  x k e x  +1  由(1) lim lim 0 1 = = + →+ →+ x k x x k x e x e x    lim = 0 →+ x n x e x  用夹逼准则  k x +1  k x 存在正整数 k , 使当 x > 1 时