《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）齐次方程

东液 第三节齐次方程 1.齐次方程 2.可化为齐次的方程

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第三节 齐次方程 2.可化为齐次的方程 1.齐次方程

山东农业大 本 一、 齐次方程 形 d=p(点的方程叫做齐次方程 dy 解法令山则 =u+x u dx x' 代入原方程得 du u+x p(u） dx du dx 分离变量： p(u)-u x 两边积分，得 du p(u)-u 积分后再用∑代替弘，便得原方程的通解 X

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、齐次方程 形如 的方程叫做齐次方程 . 令 , x y u = 代入原方程得 ( ) d d u x u u + x =  x x u u u d ( ) d =  − 两边积分, 得   = − x x u u u d ( ) d  积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解. 解法: 分离变量:

例1解方程2+x2少=少 dxdx 解原方程可写成 dy y2 dx XV-x2 -1 X 令其=，即，则得 u+x du u2 d 即 分离变量，得1-ldhu= 两边积分，得 u-Inlu+C=Inx, 或写成 Inxu=u+C. 以代上式中的u,得 Inly+C. X

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 解 原方程可写成 1 ( ) 2 2 2 − = − = x y x y xy x y dx dy  令 u x y =  即 y=ux 则得 1 2 − + = u u dx du u x  即 −1 = u u dx du x  分离变量 得 x dx du u − ) = 1 (1  两边积分 得 u−ln|u|+C=ln|x| 或写成 ln|xu|=u+C 以 x y 代上式中的 u 得 C x y ln| y|= +  例 1 解方程 dx dy x y dx dy y +x = 2 2 

主进 本堂 例2求解微分方程 (x-ycos)dx+xcosdy=0. X 解 令u=',则d山=xda+udk, (x-ux cosu)dx+xcosu(udx+xdu)=0, dx cosudu = sinu=-Inx+C, x 微分方程的解为sin'=-nx+C

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例 2 求解微分方程 ( − cos ) + cos dy = 0. x y dx x x y x y 解 令 ， x y u = 则dy = xdu + udx， (x − uxcosu)dx + xcosu(udx + xdu) = 0, cos , x dx udu = − sinu = −ln x + C, 微分方程的解为 sin ln x C. x y = − +

例3.在制造探照灯反射镜面时，要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性，试求反射镜面的形状 解：设光源在坐标原点，取x轴平行于光线反射方向， 则反射镜面由曲线y=f(x)绕x轴旋转而成 过曲线上任意点M(x,y)作切线MT, 由光的反射定律：入射角=反射角 可得 ∠OMA=∠OAM=C 从而 AO=OM 而A0=AP-OP=ycta-x=y -0 OM=x2+y2 于是得微分方程 =+

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 o y x 可得 OMA =  OAM =  例3. 在制造探照灯反射镜面时, 解: 设光源在坐标原点, 则反射镜面由曲线 绕 x 轴旋转而成 . 过曲线上任意点 M (x, y) 作切线 M T, 由光的反射定律: 入射角 = 反射角 = y cot − x x y y −  = 2 2 OM = x + y T M A P  y  取x 轴平行于光线反射方向, 从而 AO = OM = AP −OP 要求点光源的光线反 射出去有良好的方向性 , 试求反射镜面的形状. 而 AO 于是得微分方程 : x y y −  2 2 = x + y

1东农 主计 方本堂 利用曲线的对称性，不妨设y>0,于是方程化为 dr=+1+(P (齐次方程) dy y 令y= dx =v+y v 则x=yy, dy y dv y ay =1+v2 积分得n(v+√1+2)=ny-nC +1+-光 故有 y22y=1 C (名-2=1+ 代入yv=x,得y2=2C(x+) (抛物线) 故反射镜面为旋转抛物面

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 利用曲线的对称性, 不妨设 y > 0, , y x 令 v = 2 1 d d v y v y = + y v v y y x d d d d = + ln (v 1 v ) ln y ln C 2 积分得 + + = − 故有 1 2 2 2 − = C y v C y 得 ) 2 2 ( 2 C y = C x + (抛物线) 2 2 ( v ) 1 v C y − = + 故反射镜面为旋转抛物面. 于是方程化为 (齐次方程)

y2=2C(x+号) 说明： 若已知反射镜面的底面直径为d, 顶到底的距离为h,则将 C =h,y= d x+ 2 2 (-,0) 代入通解表达式得C= 8h 这时旋转曲面方程为 y2+2- d2 4h x+ 16h

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 顶到底的距离为 h , h d C 8 2 = 说明: 2 ( ) 2 2 C y = C x + 则将 这时旋转曲面方程为     +   + = h d x h d y z 4 16 2 2 2 2 h 若已知反射镜面的底面直径为 d , d 代入通解表达式得 ( , 0) 2 C − o y x A

*二、可化为齐次方程的方程 dy_ax+by+c (c2+c2≠0) dx ax+by+c1 1.当a1≠b时，作变换x=X+h,y=Y+k(h,k为待 a b 定常数)，则dx=dX,dy=dY,原方程化为 dy ax+bY+ah+bk+c dx ax+by +ah+bk+c 令 ,解出h,k dy ax+by (齐次方程) dY a x+b Y

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 ( h, k 为待 *二、可化为齐次方程的方程 ( 0) 2 1 2 c + c  1. , 当 1 1 时 b b a a  作变换 x = X + h, y = Y + k 则d x = d X , d y = dY, 原方程化为 + a h + bk + c 1 1 1 + a h + b k +c 令 , 解出 h , k (齐次方程) 定常数)

求出其解后，将X=x-h,Y=y-k代入，即得原方 程的解 2.当41-=时，原方程可化为 a b dy ax+by+c (b≠0) dx A(ax+by)+c 令v=ax+b,则dr=a+b dx dx dv =a+b v+c (可分离变量方程) dx 2v+C1 注：上述方法可适用于下述更一般的方程 =f( dx ax+by+c）(c2+c≠0) ax+by+c1

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 求出其解后, 即得原方 程的解. 2. , 当 1 = 1 = 时 b b a a 原方程可化为 1 d ( ) d a x by c a x by c x y + + + + =  令 v = a x + by, x y a b x v d d d d 则 = + 1 d d v c v c a b x v + + = +  (可分离变量方程) 注: 上述方法可适用于下述更一般的方程 ( 0) 2 1 2 c + c  (b  0)

山东农业大 高等数学 主讲人：苏本堂 dy x+y+4 例4.求解 dx x-y-6 yx=2=-5 h+k+4=0 解：令1h-k-6=0 得h=1,k=-5 dY X+Y 令x=X+1,y=Y-5,得 dY Y-Y 再令Y=Xu,得 1-udu= dX 1+u1 X 积分得 arctanu -iIn(1+u2)=InC 代回原变量，得原方程的通解：

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例4. 求解 解: h + k + 4 = 0 令 x = X +1, y = Y − 5 , X Y X Y X Y − + = d d 得 再令 Y＝X u , 得 令 h − k − 6 = 0 得h k = = − 1, 5 X X u u u d d 1 1 2 = + − 积分得 arctanu ln (1 ) 2 2 1 − + u = ln C X 代回原变量, 得原方程的通解: