《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）多元函数微分学的几何应用

第六节多元函数微分学的几何应用 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面和法线

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面和法线 第六节 多元函数微分学的几何应用

方本 一、空间曲线的切线与法平面 空间光滑曲线在点M处的切线为此点处割线的极限 位置.过点M与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 平面

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、空间曲线的切线与法平面 位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法  T M  空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 平面

一、 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线「的参数方程为 x=0(),y=t),z=0(t0), 这里假定()，(t),o(t)都在[，例上可导 设仁，和仁t+△分别对应于曲线上的 点M(xo,yo2o)和Mx0+△x,y+△y,2o+△)： 作曲线的割线MM,其方程为 X-=y-h=-0，或0=y6=-0 △x △y △z △x △y △t △t △t 当M→M,即△t→0时，得曲线在点M处的切线方程为 X-X0_y-y0_2-20 P(to) w() @

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 设空间曲线的参数方程为 x=(t), y=(t),z=(t), 这里假定(t),(t), (t)都在[ ]上可导 设t=t 0和t=t 0+t分别对应于曲线上的 点M0 (x0 , y0 , z0 )和M(x0+x, y0+y, z0+z) 当M→M0 , 即t→0时, ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 t z z t y y t x x    − =  − =  −  z z z y y y x x x  − =  − =  − 0 0 0  或 t z z z t y y y t x x x   − =   − =   − 0 0 0  作曲线的割线MM0 , 其方程为 得曲线在点M0处的切线方程为 z z z y y y x x x  − =  − =  − 0 0 0  或 t z z z t y y y t x x x   − =   − =   − 0 0 0  一、空间曲线的切线与法平面

主讲》 方本堂 一、空间曲线的切线与法平面 设空间曲线「的参数方程为 x=0(t),J=(t),2=0(t), 这里假定0t),(t),o(t)都在[a,]上可导 过曲线厂上=t所对应的点M,切线方 T Mo 程为 X-0-y-y0_2-20 p'(4o)W(o)o'(o) 向量T=(0(to),W(to),o'(to)称为曲线T在点M的切向量 通过点M而与切线垂直的平面称为曲线Γ在点M,处的法 平面，其法平面方程为 0'(to)x-xo)+W(to)0y-yo)+0'(t)(z-20)=0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 设空间曲线的参数方程为 x=(t) y=(t)z=(t) 这里假定(t),(t), (t)都在[ ]上可导 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 t z z t y y t x x    − =  − =  −  过曲线上t=t 0所对应的点M0切线方 程为 向量T=((t 0 ) (t 0 ) (t 0 ))称为曲线在点M0的切向量. 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0处的法 平面, 其法平面方程为 (t 0 )(x−x0 )+(t 0 )(y−y0 )+(t 0 )(z−z0 )=0 一、空间曲线的切线与法平面

例1.求圆柱螺旋线x=Rcosp,y=Rsinp,z=kp在 P=?对应点处的切线方程和法平面方程， 解：由于x'=-Rsinp,y'=Rcosp,z'=k,当p=号时， 对应的切向量为T=(-R,0,k),故 切线方程 x=y-R_z-3k Mo(0,R,k) -R 0 k 即 kx+Rz-3Rk=0 y-R=0 法平面方程-Rx+k(z-牙k)=0 即 Rx-k=+k2=0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 z x y o 例1. 求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程. 切线方程 = − R x 法平面方程 − R x 0 2 2 R x − k z + k =  即    − = + − = 0 0 2 y R k x Rz Rk  即 解: 由于 0 y − R k z k 2  − = (0, , ) 0 2 M R k  对应的切向量为 ( ) 0 2 + k z − k =  在 T = (−R, 0, k) , 故

苏本堂 曲线x=0(t),y=(t),z=o(t)在仁t所对应的点M,的切向 量为T=(0(to),yW(to),0'(0) 讨论： 1.若曲线的方程为y=0(x),=(x),则切向量T=? 2.若曲线的方程为F(x,y,z)=0,G(x,y,)=0,则切向量 T=? 提示： 1. 曲线的参数方程可视为：=x,y0(x),=(x), 切向量为T=(1,0(x),W(x). 2.两方程可确定两个隐函数：=(x),=(x) 切向量为T=(1,p(x),yW(x),而0x),W(x)要通过解方程 组得到

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 讨论: 1. 若曲线的方程为y=(x) z=(x) 则切向量T=? 提示: 1. 曲线的参数方程可视为: x=x y=(x) z=(x) 切向量为T =(1 (x) (x)) 曲线x=(t), y=(t), z=(t)在t=t 0所对应的点M0的切向 量为T=((t 0 )(t 0 ) (t 0 )) 2. 若曲线的方程为F(x, y, z)=0, G(x, y, z)=0, 则切向量 T=? 2. 两方程可确定两个隐函数: y=(x) z=(x) 切向量为T =(1 (x) (x)) 而(x) (x)要通过解方程 组得到

例2.求曲线x2+y2+z2=6,x+y+z=0在点 M(1,-2,1)处的切线方程与法平面方程 dy dz =一X 解.方程组两边对x求导，得 d dx dy dz =-1 dx dx -x y -x 解得 dy -11 2-X dz 1-1 x-y dx y-2 dx y-2 11 11 曲线在点M(1,-2,1)处有： 切向量 dy =(1,0,-1) dx M'dx M

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 求曲线 6, 0 2 2 2 x + y + z = x + y + z = 在点 M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解. 方程组两边对 x 求导, 得 1 1 1 1 d d y z y x x z − − = 1 1 d d x y z y = 曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: 切向量 解得 −1 1 − x z , y z z x − − = y z x y − − =  = (1, 0, −1)      = M x M z x y T d d , d d 1

方本 点M(1,-2,1)处的切向量 7=(1,0,-1) 切线方程 1_y+2=2-1 1 0-1 x+z-2=0 即 y+2=0 法平面方程1·(x-1)+0·(y+2)+(-1)(2-1)=0 即 X-z=0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 切线方程 即 法平面方程 1(x −1) + 0( y + 2) + (−1)(z −1) = 0 即 x − z = 0 点 M (1,–2, 1) 处的切向量 T = (1, 0, −1)

二、曲面的切平面与法线 设有光滑曲面Σ：F(x,y,z)=0 通过其上定点M(xo,y0,20)任意引一条光滑曲线 T:x=p(),y=y(),2=0(),设t=to对应点M,且 0'(to),y'(to),0'(to)不全为0.则T在 点M的切向量为 T=(o'(,y'(),0'(4)》 切线方程为 x-x0=y-y0=2-20 '(to)w'(to) @'(to) 下面证明：∑上过点M的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上.此平面称为∑在该点的切平面

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面 通过其上定点 0 设 t = t 对应点 M, 切线方程为 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 t z z t y y t x x    − =  − =  − 不全为0 . 则  在 且 点 M 的切向量为 任意引一条光滑曲线 M  T 下面证明: 此平面称为  在该点的切平面.  上过点 M 的任何曲线在该点的切线都 在同一平面上. ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 T =  t  t  t

苏本草 证：T:x=p(t),y=y(t),z=0()在∑上， ∴.F(p(t),w(t),o(t))≡0 两边在t=o处求导，注意t=to对应点M, 得 Fx(x0,y0,20)p'(t0)+F,(xo,0,20)y(t6 +F(x0,y0,20)0'(t0)=0 令T=(o'(t）,(4),o'(4o》 i=(Fx(x00,20,F(x0,0,20),F2(x0,0,20》 切向量71n 由于曲线厂的任意性，表明这些切线都在以为法向量 的平面上，从而切平面存在

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 M  T 证: 在  上,  F( (t), (t), (t))  0 , 两边在 t = t0 处求导 , 注意t = t0 对应点M ( ) 0  t = 0 ( , , ) 0 0 0 F x y z x ( , , ) 0 0 0 F x y z + y ( , , ) 0 0 0 F x y z + z ( ) 0  t ( ) 0 得  t ( ( ), ( ), ( )) 0 0 0 T =  t  t  t ( ( , , ), ( , , ), ( , , )) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n F x y z F x y z F x y z = x y z 令 切向量 T ⊥ n 由于曲线  的任意性 , 表明这些切线都在以 为法向量 的平面上 , 从而切平面存在