《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）对弧长的曲线积分

第十一章曲线积分与曲面积分 积分学 定积分二重积分三重积分曲线积分曲面积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线域 曲面域 对弧长的曲线积分 曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 曲面积分 对坐标的曲面积分

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第十一章 曲线积分与曲面积分 积分学 定积分二重积分三重积分 积分域 区间域 平面域 空间域 曲线积分 曲线域 曲面域 曲线积分 曲面积分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 曲面积分

第一节对弧长的曲线积分 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第一节 对弧长的曲线积分 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 二、对弧长的曲线积分的计算法

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 实例：曲线形构件的质量 B L 匀质之质量M=p·S. M ,n） M2 M 分割M1,M2,.,Mn-1→△S, Mi A M 0 x 近似 取(5，n)∈△s,△M;≈p(5,n:)·△s 求和M≈∑p(5,n)Ay, 近似值 精确值 取极限M=im∑p(传，n,)△，. 2→0 i=1

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、对弧长的曲线积分的概念与性质 实例:曲线形构件的质量 匀质之质量 M =   s. o x y A B M1 M2 Mi−1 Mi Mn−1 L ( , ) i i  分割 , , , , 1 2 n 1 i M M M → s  − ( , ) , i i i 取    s ( , ) . i i i i M      s 求和 ( , ) . 1 =    n i i i i M    s 近似值 取极限 lim ( , ) . 1 0= → =   n i i i i M    s  精确值 近似

1.定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧，函数fx,y)在L 上有界.将L任意分成n个小弧段：△s1,△s2,··,△sn(△s,也表示 第个小弧段的长度)；在每个小弧段△s上任取一点(5,7)，作和 ∑f5,n)AS, i=l 如果当=max{△S1,△s2,··,△sm}→0时，这和的极限总存在，则 称此极限为函数x,y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分，记作 Jfx还，即 fk=2EwA, 其中x,y)叫做被积函数，L叫做积分弧段

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 1. 定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧 函数f(x y)在L 上有界将L任意分成n个小弧段s1  s2     sn (si也表示 第i个小弧段的长度)在每个小弧段si上任取一点(i  i ) 作和 i i i n i f s =  ( , ) 1    i i i n i L f x y ds = f s → =  ( , ) lim  ( , ) 1 0     如果当=max{s1  s2     sn }→0时 这和的极限总存在 则 称此极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的曲线积分 记作 f x y ds L ( , )   即 其中f(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段

山东 方本 对弧长的曲线积分 f(x.y)ds=m2f5n△. 注 1>0=1 •对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分 ·当函数孔x,y)在光滑曲线弧L上连续时，函数x,y)在曲线 弧L上对弧长的曲线积分是存在的.以后我们总假定孔x,y) 在L上是连续的. 如果L是闭曲线，则记为ff(x,y)ds. ·类似地定义函数孔x,y,z)在空间曲线弧「上对弧长的曲线 积分： f,y2ds=lm∑f5,n,5)△. 20i1

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 i i i n i L f x y ds = f s → =  ( , ) lim  ( , ) 1 0     对弧长的曲线积分 注 •当函数f(x y)在光滑曲线弧L上连续时 函数f(x y)在曲线 弧L上对弧长的曲线积分是存在的 以后我们总假定f(x y) 在L上是连续的 •对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分 i i i i n i f x y z ds = f s → =   ( , , ) lim  ( , , ) 1 0      •类似地定义函数f(x y z)在空间曲线弧上对弧长的曲线 积分 •如果 L 是闭曲线 , 则记为 ( , )d . L f x y s

注 如果L(或Γ)是分段光滑的，则规定函数在L(或T)上的曲 线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和， 例如，设L可分成两段光滑曲线弧L及L,则规定 f.ds=J f.yds+f.yds. 思考： (I)若在L上fx,归1，问，ds表示什么？ (2)定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例？ 否！对弧长的曲线积分要求ds≥0，但定积分中 dx可能为负

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 •如果L(或)是分段光滑的 则规定函数在L(或)上的曲 线积 分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 例如 设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2  则规定 f x y ds f x y ds f x y ds L L L L ( , ) ( , ) ( , ) 1 2 1 2    = + +  注 思考: (1) 若在 L 上 f (x, y)≡1, 问 d 表示什么? L s (2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ? 否!对弧长的曲线积分要求 ds  0 , 但定积分中 dx 可能为负

本堂 2.性质 性质1设c1、c2为常数，则 [cf(x.y)+czg(x.y)ds=af(x,yds+c2Jg(x.y)ds 性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L,和L,则 (ds=f(x.yds+f(.y)ds; 性质3设在L上几x,y)g(x,y),则 fex≤gx,as 特别地，有 fxas∫f川s

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2. 性质 性质1 设c1、c2为常数 则 c f x y c g x y ds c f x y ds c g x y ds L L L [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , )  1 2 1 2 + = +  性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2  则 f x y ds f x y ds f x y ds L L L ( , ) ( , ) ( , ) 1 2    = +  性质3 设在L上f(x y)g(x y) 则    L L f (x, y)ds g(x, y)ds  特别地 有    L L | f (x, y)ds| | f (x, y)|ds

二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路：求曲线积分 转化 计算定积分 定理：设∫(x,y)是定义在光滑曲线弧 L:x=p(t),y=y(t)(a≤t≤B) 上的连续函数，则曲线积分∫，f(x,)d存在，且 Jf.y)ds-S2Mo().v(lo2(+v2()dr 证：根据定义 fd=m2f陈，aA: 2→0k=1

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂   =  +    f x y ds f  t  t  t  t t L ( , ) [ ( ), ( )] ( ) ( ) d 2 2 二、对弧长的曲线积分的计算法 基本思路: 计算定积分 转 化 定理: 上的连续函数, 且 证: 是定义在光滑曲线弧 则曲线积分 求曲线积分 根据定义 k k n k k =  f s = → lim ( , ) 1 0   

设各分点对应参数为tk(k=0,1,.,n), 点(5k,门k)对应参数为tk∈[tk-1,k], s=(w2()dr =Vp2(t)+w2(rk)△k,tk∈[tk-1,k] 则f(x,y)d /o(.w(小o2(g)*v2(): k=1 注意V02()+w2(t)连续 2 Iim∑f[o(rk),y(tk)]√o'2(ck)+y2(rk)k 2→0k=1

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 点 ( , )  k k s t t t k k t t k ( ) ( ) d 1 2 2  −  =  + ( ) ( ) , 2 2 k k k =    +   t  = → = n k 1 0 lim  [ ( ), ( )] k k f     注意  2 (t) + 2 (t )连续 设各分点对应参数为 对应参数为 则  = → = n k 1 0 lim  [ ( ), ( )] k k f    

因此 Jf(x,y)ds =∫2Lo),wu小yo2)+w2u)dr 说明： (1):△Sk>0,.△tk>0,因此积分限必须满足a<B! (2)注意到 ds=/(dx)2+(dy)2 =xo2(t)+w2(t)dt ds dy dx 因此上述计算公式相当于“换元法”. X

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 dx dy ds x y o 说明: (1)   0,  0, k k  s t 因此积分限必须满足    ! (2) 注意到 2 2 ds = (d x) + (d y) (t ) (t ) d t 2 2 =  + 因此上述计算公式相当于“换元法”. x 因此