《高等数学》课程教学资源（自学导学单）导学单8.5 曲面及其方程

教学基本指标 教学课题 第八章第五节曲面及其方程 课的类型新授课 教学重点 二次曲面的方程及其图形 教学难点旋转曲面的方程 大纲要求 1.理解曲面方程的概念： 2.了解常用二次曲面的方程及其图形： ,掌握以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程 教 学 基本 内容 一、基本概念 1.曲面方程的概念如果曲面S与三元方程F(x,y,)=0满足下列关系： (1)曲面S上的任一点的坐标都满足方程： (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程，则称F(x,)=0为曲面S的方程， 而曲面S称为方程F(x,y,)=0的图形. 2。旋转曲面一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这 条定直线就叫做旋转曲面的轴， 设在0：坐标面上有一己知曲线L:f(y,)=0,将L绕：轴旋转就得到一个以z轴为旋 转轴的旋转曲面S∫±V2+少，)=0， 3.柱面 平行于定直线并沿着定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面 其中定曲线C称为柱面的准线，动直线L称为柱面的母线 一般地，设有一个柱面，准线是xOy面上的曲线C F(x,y)=0 ==0 则其方程为 F(x,y)=0 4二次曲面 我们将三元二次方程所表示的曲面就叫做二次曲面

1 教 学 基 本 指 标 教学课题 第八章 第五节 曲面及其方程 课的类型 新授课 教学重点 二次曲面的方程及其图形 教学难点 旋转曲面的方程 大纲要求 1. 理解曲面方程的概念； 2. 了解常用二次曲面的方程及其图形； 3. 掌握以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程. 教 学 基 本 内 容 一、基本概念 1. 曲面方程的概念 如果曲面 S 与三元方程 F xyz ( , 0 ) = 满足下列关系： (1) 曲面 S 上的任一点的坐标都满足方程； (2) 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程，则称 F xyz ( , 0 ) = 为曲面 S 的方程， 而曲面 S 称为方程 F xyz ( , 0 ) = 的图形. 2. 旋转曲面 一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这 条定直线就叫做旋转曲面的轴. 设在 yOz 坐标面上有一已知曲线 L f yz :,0 ( ) = ，将 L 绕 z 轴旋转就得到一个以 z 轴为旋 转轴的旋转曲面 S: ( ) 2 2 f x yz ±+ = , 0 . 3. 柱面 平行于定直线并沿着定曲线C 移动的直线 L 形成的轨迹叫做柱面. 其中定曲线C 称为柱面的准线，动直线 L 称为柱面的母线. 一般地，设有一个柱面，准线是 xOy 面上的曲线C (, ) 0 0 Fxy z  =   = ， 则其方程为 Fxy (, ) 0 = 4. 二次曲面 我们将三元二次方程所表示的曲面就叫做二次曲面

②二次维面（椭圆锥面） +。=0所确定的曲面称为二次 12-2 锥面（椭圆锥面） ③抛物面 由方程 。十26：所确定的曲面称为椭圆抛物面 由方程上少 2石26=：所确定的曲面称为双曲抛物面（马鞍面。 ④双曲面 由方程+ =-1所确定的曲面称为 a2 b2 c 单叶双曲面 二、应用 1掌握旋转曲面的方程 2.重点掌球面、圆柱面 ,圆锥面、旋转抛物面的方程表示

2 ① 椭球面: 2 22 222 1 xyz abc ++= ② 二次锥面（椭圆锥面） 由方程 2 22 222 0 xyz abc +−= 、 2 22 222 0 xyz abc −+= 、 2 22 222 0 xyz abc −++= 所确定的曲面称为二次 锥面(椭圆锥面). ③ 抛物面 由方程 2 2 2 2 x y z a b + = 所确定的曲面称为椭圆抛物面. 由方程 2 2 2 2 x y z a b − = 所确定的曲面称为双曲抛物面(马鞍面). ④ 双曲面 由方程 2 22 222 1 xyz abc +−= , 2 22 222 1 xyz abc −+= , 2 22 222 1 xyz abc −++= 确定的曲面称为单叶双曲 面. 由方程 2 22 222 1 xyz abc + − =− , 2 22 222 1 xyz abc − + =− , 2 22 222 1 xyz abc − + + =− 所确定的曲面称为 单叶双曲面. 二、应用 1. 掌握旋转曲面的方程 2. 重点掌握球面、圆柱面、圆锥面、旋转抛物面的方程表示