《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）常数项级数的概念和性质

本堂 第十二章无穷级数 数项级数 无穷级数 幂级数 付氏级数 表示函数 无穷级数是研究函数的工具 研究性质 数值计算

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第十二章 无穷级数 无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究性质 数值计算 数项级数 幂级数 付氏级数

第一节常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第一节常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质

山东农业大 方本军 一、常数项级数的概念 引例.用圆内接正多边形面积逼近圆面积」 依次作圆内接正3×2”(n=0,1,2,)边形，设a表示 内接正三角形面积，ak表示边数 增加时增加的面积，则圆内接正 3×2”边形面积为 a0+a1+a2+·+an n→o时，这个和逼近于圆的面积A. 即 A=a0+a1+a2+.+an+

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、常数项级数的概念 引例. 用圆内接正多边形面积逼近圆面积. 依次作圆内接正 边形, 这个和逼近于圆的面积 A . + 设 a0 表示 即 内接正三角形面积, ak 表示边数 增加时增加的面积, 则圆内接正

定义：给定一个数列山1,2,43，.，4n,.将各项依 00 次相加，简记为∑4n,即 n=l ∑4n=h+42+43+.+4n+. n=1 称上式为无穷级数，其中第n项un叫做级数的一般项， 级数的前n项和 Sn=∑4=++山+.+4n k=] 称为级数的部分和.若limS,=S存在，则称无穷级数 n-→00 收敛，并称S为级数的和，记作

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定义：给定一个数列 u1 , u2 , u3 ,  , un ,  将各项依 , 1   n= un 即 称上式为无穷级数，其中第 n 项 un 叫做级数的一般项, 级数的前 n 项和 称为级数的部分和. 次相加, 简记为 收敛 , 则称无穷级数 并称 S 为级数的和, 记作

等数学 主讲 苏本草 0 S= ∑4n n= 若lim S不存在，则称无穷级数发散 n→c0 当级数收敛时，称差值 n=S-Sn=un+l+4n+2+. 为级数的余项.显然 limrn =0 n→0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 当级数收敛时, 称差值 为级数的余项. 则称无穷级数发散 . 显然

级数举例 级数的展开形式 简写形式 一般项 备注 n 阳 1 调和级数 1,1 1 十·· 1223 n+) 含aan n(n+1) a+aq+ag2+.+aqn+. ar agn-1 等比级数 n=0 几何级数 31 1 白nP p一级数 nP D

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 级数举例 1 3 1 2 1 1 1 1  = + + +  + +   n= n n 1 3 1 2 1 1 1 1  = + + +  + +   n= n n 1 3 1 2 1 1 1 1  = + + +  + +   n= n n 调和级数 ( 1) 1 2 3 1 1 2 1 ( 1) 1 1 +  + +  +  + +    ( 1) n= n n n n 1 2 3 1 1 2 1 ( 1) 1 1 +  + +  +  + +    n= n n n n ( 1) 1 2 3 1 1 2 1 ( 1) 1 1 +  + +  +  + +    n= n n n n 2 0  = + + +  + +   = n n n aq a aq aq aq 2 0  = + + +  + +   = n n n aq a aq aq aq 几何级数 1 3 1 2 1 1 1 1  + + +  + +   = p p p n np n 1 3 1 2 1 1 1 1  + + +  + +   = p p p n np n 1 3 1 2 1 1 1 1  + + +  + +   = p p p n np n 级数的展开形式 简写形式 一般项 备注 aqn-1 等比级数 p—级数

山东农业大 等数 本 例1.讨论等比级数（又称几何级数） ∑ag”=a+ag+ag2++ag”+.(a≠0) n=0 (q称为公比)的敛散性 解：1)若q≠1，则部分和 Sn=a+aq+ag2+.+ag"-1=a-aq" 1-q 当g1时，由于1img”=oo,从而lim S=o, 1n→00 n->oo 因此级数发散

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 讨论等比级数(又称几何级数) ( q 称为公比 ) 的敛散性. 解: 1) 若 q a a q n − − = 1 从而 q a n n S − → = 1 lim 因此级数收敛, ; 1 q a − 从而 lim =  , → n n S 则部分和 因此级数发散. 其和为

2).若9=1，则 当q=1时，Sn=na→o,因此级数发散； 当g=-1时，级数成为 a-a+a-a+.+(-1)n-1a+. n为奇数 因此 0 n为偶数 从而lim不存在，因此级数发散 n→0 综合1)、2)可知，q<1时，等比级数收敛， q≥1时，等比级数发散

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2). 若 因此级数发散; 因此    Sn = n 为奇数 n 为偶数 从而 综合 1)、2)可知, q 1 时, 等比级数收敛; q 1 时, 等比级数发散. 则 级数成为 a, 0, 不存在 , 因此级数发散

山东农业大 主讲 苏本堂 例2.判别下列级数的敛散性 00 n+1 (1) ∑n (2) n=1 n=1n(n+1) 解：(1) s-h子n+ln+n =(h2n)+(Im9-ln2)+小+nn+1)-ln) =ln(n+1)→o(n→o) 技巧： 所以级数(1)发散； 利用“拆项相消”求 和

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 判别下列级数的敛散性: 解: (1) 1 2 = ln n S = (ln 2 − ln1) + (ln3 − ln 2) ++ (ln(n +1) − ln n) = ln(n +1) →  ( n → ） 所以级数 (1) 发散 ; 技巧: 利用 “拆项相消”求 和 2 3 + ln 3 4 + ln n n 1 ln + ++

(2) n.(n+1) 及 n+1→1(n→o) 所以级数(2)收敛，其和为1 技巧： 利用“拆项相消”求 和

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (2) ( 1) 1 3 4 1 2 3 1 1 2 1  + + +  +  +  = n n Sn        = − 2 1 1 1 1 1 + = − n →1 ( n → ） 所以级数 (2) 收敛, 其和为 1 .       + − 3 1 2 1       + − 4 1 3 1       + + + − 1 1 1 n n  技巧: 利用 “拆项相消”求 和