《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）多元函数的极值及其求法

1东农 第八节多元函数的极值及其求法 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 二、条件极值拉格朗日乘数法

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、多元函数的极值及最大值、最小值 二、条件极值 拉格朗日乘数法 第八节多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及最大值、最小值 定义设函数=孔x,y)在点(xo,o)的某个邻域内有定 义，如果对于该邻域内任何异于(x)的点(x,y),都有 x,y孔xo,o或x,yPxo,o), 则称函数在点(xo)有极大值（或极小值x,o), 极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称 为极值点， 例如： z=3x2+4y2在点(0,0)有极小值； z=-Vx2+y2在点(0,0)有极大值 z=xy在点(0,0)无极值

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、多元函数的极值及最大值、最小值 定义 设函数z=f(x y)在点(x0  y0 )的某个邻域内有定 义 如果对于该邻域内任何异于(x0  y0 )的点(x y) 都有 f(x y)f(x0  y0 )) 则称函数在点(x0  y0 )有极大值(或极小值)f(x0  y0 ) 极大值、极小值统称为极值 ,使函数取得极值的点称 为极值点. 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值

定理1（必要条件）函数z=f(x,y)在点(xo,yo)存在 偏导数，且在该点取得极值，则有 f(x0,y0)=0,f(x0,0)=0 证：因z=f(x,y)在点(xo,yo)取得极值，故 z=∫(x,yo)在x=xo取得极值 z=∫(xo,y)在y=yo取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 注1.使偏导数都为0的点称为驻点.但驻点不一 定是极值点 如，2=y有驻点(0,0)，但在该点不取极值

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 注 1. 使偏导数都为 0 的点称为驻点 .但驻点不一 定是极值点. 如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. ( , ) 0 , ( , ) 0 f x  x0 y0 = f y  x0 y0 = 取得极值 , 取得极值 取得极值 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故

2.从几何上看，这时如果曲面z=x,y)在极值点 (,)处有切平面，则切平面 2-20f(xo,y0x-x0+fxo,00-o) 成为平行于xOy坐标面的平面2=20 类似地可推得，如果三元函数=∫(x,y,z)在点 (xo,o,0)具有偏导数，则它在点(xo,o,2)具有极值的 必要条件为 (o2 o2 )-0,oo )0,(o o2 )=0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2. 从几何上看这时如果曲面z=f(x y)在极值点 (x0  y0  z0 )处有切平面 则切平面 z−z0=f x (x0  y0 )(x−x0 )+ f y (x0  y0 )(y−y0 ) 成为平行于xOy坐标面的平面z=z0  类似地可推得 如果三元函数u=f (x y z)在点 (x0  y0  z0 )具有偏导数 则它在点(x0  y0  z0 )具有极值的 必要条件为 f x (x0  y0  z0 )=0 f y (x0  y0  z0 )=0 f z (x0  y0  z0 )=0

定理2（充分条件）若函数z=f(x,y)在点(x0,)的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 fx(x0,y0)=0,fy(x0,y0)=0 A=fxx(xo,o),B=fxy(xo,yo),C=fyy(xo,Yo) A0时，具有极值 A>0时取极小值， 2)当AC-B2<0时，没有极值 3)当AC-B2=0时，不能确定，需另行讨论 证明见第九节

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A0 时取极小值. 2) 当 3) 当 证明见 第九节. 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 z = f (x, y) 在点 (x0 , y0 )的 ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 = ( , ) , ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y = x x = x y = y y 0 2 AC − B  0 2 AC − B  0 2 AC − B =

求函数z=f(x,y)极值的一般步骤： 第一步解方程组f(x,y)=0,f,(x,y)=0 求出实数解，得所有驻点 第二步 对于每一个驻点(x0), 求出二阶偏导数的值A、B、C, 第三步定出AC-B2的符号，再判定是否是极值

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 f (x, y) = 0, x f (x, y) = 0 y 求函数z = f ( x , y)极值的一般步骤： 第一步 解方程组 求出实数解，得所有驻点. 第二步 对于每一个驻点(x0 , y0 ), 求出二阶偏导数的值A、B 、C. 第三步 定出AC−B2的符号，再判定是否是极值

主进 苏本 例1.求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值 解：第一步求驻点 f(x,y)=3x2+6x-9=0 解方程组 ∫(x,y)=-3y2+6y=0 得驻点：(1,0)，(1,2)，(-3,0)，(-3,2) 第二步判别.求二阶偏导数 B Lxx(x,y)=6x+6,fxy(x,y)=0,fyy(x,y)=-6y+6 在点(1,0)处A=12,B=0,C=6, AC-B2=12×6>0,A>0, .f(1,0)=-5为极小值：

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 A B C 的极值. 求二阶偏导数 f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, xy f (x, y) = −6y + 6 y y 12 6 0, 2 AC − B =   A  0

在点(1,2)处A=12,B=0,C=-6 AC-B2=12×(-6)0,A<0, ∴.f(-3,2)=31为极大值 fxx(x,y)=6x+6,fxv(x,y)=O,Jyy(x,y)=-6y+6 B

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 在点(−3,0) 处 不是极值; 在点(−3,2) 处 为极大值. f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, xy f (x, y) = −6y + 6 y y 12 6 0, 2 AC − B = −   12 ( 6) 0, 2 AC − B = −  −  A  0, 在点(1,2) 处 12 ( 6) 0, 不是极值; 2 AC − B =  −  A B C

主 苏本量 例2.讨论函数2=x3+y3及z=(2+y2)2在点(0,0) 是否取得极值 解：显然(0,0)都是它们的驻点，并且在(0,0)都有 AC-B2=0 z=x3+y3在0,0)点邻域内的取值 正 可能为了负，因此(0,0)不是极值 0 当x2+y2≠0时，2=(x2+y2)2>20.0=0 因此z(0,0)=(2+y2)20.0)=0为极小值

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2.讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此 0 , 当x 2 + y 2  时 2 2 2 z = (x + y ) 0  z (0,0) = 为极小值. 正 负 0 在点(0,0) x y z o 并且在 (0,0) 都有 可能为

注 不是驻点也可能是极值点 例如，函数z=-√x2+y2在点(0,0)处有极大值 但0,0)不是函数的驻点. 因此，在考虑函数的极值问题时， 除了考虑函数的驻点外，如果有偏导 数不存在的点，那么对这些点也应当 考虑 多元函数的最值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来 求函数的最大值和最小值

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 注 不是驻点也可能是极值点. 因此, 在考虑函数的极值问题时, 除了考虑函数的驻点外,如果有偏导 数不存在的点, 那么对这些点也应当 考虑. 但(0 0)不是函数的驻点 例如 函数 2 2 z=− x + y 在点(0 0)处有极大值 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来 求函数的最大值和最小值. 多元函数的最值