《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）平面及其方程

§8.3平面及其方程 一、 曲面方程与空间曲线方程的概念 二、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 四、两平面的夹角

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、曲面方程与空间曲线方程的概念 二、平面的点法式方程 四、两平面的夹角 §8.3 平面及其方程 二、平面的一般方程

、曲面方程的概念 在空间解析几何中，任何曲面都可以看作点的几何轨迹 曲面方程的定义 如果曲面S与三元方程 F(x,z)=0 F(x,y,2)=0 S 有下述关系： (1)曲面S上任一点的坐标都满足 方程Fx,y,)=0; (2)不在曲面S上的点的坐标都不 满足方程Fx,y,z)=0, 那么，方程F(x,y,z)=O就叫做曲面S的方程，而曲面S就叫 做方程Fx,y,z)=O的图形

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、曲面方程的概念 在空间解析几何中, 任何曲面都可以看作点的几何轨迹. 那么, 方程F(x, y, z)=0就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫 做方程F(x, y, z)=0的图形. (1)曲面S上任一点的坐标都满足 方程F(x, y, z)=0; (2)不在曲面S上的点的坐标都不 满足方程F(x, y, z)=0, 曲面方程的定义 如果曲面S与三元方程 F(x, y, z)=0 有下述关系:

空间曲线方程概念： 空间曲线可视为两个曲面的交线，应该同时满 足这两个曲面的方程，所以 F(x,y,z)=0 G(,y,z)=0 G(x,y,z)=0 F(x,y,2)=0 例如，方程组 x2+y2=1 2x+3z=6 表示圆柱面与平面的交线C

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 空间曲线方程概念: 空间曲线可视为两个曲面的交线, 应该同时满 足这两个曲面的方程，所以 2 S L F(x, y,z) = 0 G(x, y,z) = 0 S1 例如, 方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. x z 1 y o C 2

二、平面的点法式方程 设一平面通过已知点M(xo,y0,20)且垂直于非零向 量n三(A,B,C),求该平面Π的方程 任取点M(x,y,z)eΠ，则有 MoM⊥n 故 MoM.n=0 M0M=(x-x0,y-y0,2-20) A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-20)=0 称①式为平面的点法式方程，称为平面Π的法向量

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂  z y x o M0 n ① 二、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 ( ) ( ) ( ) 0 A x − x0 + B y − y0 + C z − z0 = M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z)   , 法向量. 量 n = (A , B , C), M M ⊥ n 0 0 M 0M n = 则有 故 称 n 为平面 的

苏本堂 例1.求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2),M3(0,2,3) 的平面Π的方程 解：取该平面Π的法向量为 n n=M1M2×M1M3 1方 -34 -6 -23-1 =(14,9,-1) 又M1∈Ⅱ，利用点法式得平面Π的方程 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0 即 14x+9y-z-15=0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 i j k = 例1.求过三点 , 又 M1   = (14, 9, −1) 即 M1 M2 M3 解: 取该平面 的法向量为 的平面  的方程. 利用点法式得平面  的方程  − 3 4 − 6 − 2 3 −1 n n = M1M 2  M1M 3

说明：此平面的三点式方程也可写成 x-2y+1z-4 -34 -6 =0 -23-1 一般情况：过三点Mk(xk,yk,2k)(k=1,2,3) 的平面方程为 x-X1 y-y 2-21 x2-1y2-y1 22-21 =0 x3-X13- 23-21

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 此平面的三点式方程也可写成 0 2 3 1 3 4 6 = − − − − x − 2 y + 1 z − 4 一般情况 : 过三点 M (x , y ,z ) (k = 1, 2,3) k k k k 的平面方程为 说明:

特别，当平面与三坐标轴的交点分别为 P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c) 时，平面方程为 x+y+2=1(a,b,c≠0) a b c 此式称为平面的截距式方程 分析：利用三点式 x-a -a b 0 =0 -a 0 按第一行展开得(x-a)bc-y(-a)c+zab=0 即 bcx acy +abz abc

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 特别, 当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. + + = 1 c z b y a x 时, (a ,b , c  0) (x − a)bc − y(−a)c + zab = 0 bcx + acy +ab z = abc 平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 = 0 x − a y z − a b 0 − a 0 c

三、平面的一般方程 设有三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0(42+B2+C2+0) ② 任取一组满足上述方程的数x0,y0,20,则 Ax0+By0+C20+D=0 以上两式相减，得平面的点法式方程 A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-20)=0 方程②与此点法式方程等价，因此方程②的图形是 法向量为=(A,B,C)的平面，此方程称为平面的一般 方程

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 三、平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减, 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 Ax + B y + C z + D = 0 任取一组满足上述方程的数 , , , 0 0 0 x y z 则 0 A x0 + B y0 + C z0 + D = 方程②与此点法式方程等价, ( 0 ) 2 2 2 A + B + C  ② n = (A, B,C) 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 方程

主 Ax+By+Cz+D=0 (42+B2+C2+0) 特殊情形 ·当D=0时，Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面； ·当A=0时，By+Cz+D=0的法向量 n=(0,B,C)⊥i,平面平行于x轴； ·Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面； ·Ax+By+D=0表示平行于z轴的平面； ·Cz+D=0表示平行于xoy面的平面； ·Ax+D=0表示平行于y0z面的平面； ·By+D=0表示平行于ox面的平面

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 • A x+B y+D = 0 表示 • C z + D = 0 表示 • A x + D =0 表示 • B y + D =0 表示 A x + B y + C z + D = 0 ( 0 ) 2 2 2 A + B + C  平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. n = (0, B,C) ⊥ i

例2.求通过x轴和点(4，-3，-1)的平面方程 解：因平面通过x轴，故A=D=0 设所求平面方程为 By+Cz=0 代入已知点(4，-3，-1)得C=-3B 化简，得所求平面方程 y-3z=0 例3.用平面的一般式方程导出平面的截距式方程 (P27例4，自己练习)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 例3. 用平面的一般式方程导出平面的截距式方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 故 A = D = 0 设所求平面方程为 By + Cz = 0 代入已知点 (4, − 3, −1) 得 化简,得所求平面方程 (P27 例4 , 自己练习)