《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）一阶线性微分方程

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第四节一阶线性微分方程 1.一阶线性微分方程 2.伯努利方程

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第四节 一阶线性微分方程 2.伯努利方程 1.一阶线性微分方程

一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式： dy+P(x)y=Q(x) d 若Q(x)=0,称为齐次方程； 若Q(x)丰0，称为非齐次方程 考察下列方程是否是（或能否化为）线性方程？ 0:2密y→密0，是齐议线拉方走 d (2)3x2+5x-y-0,→y=3x2+5x,是非齐次线性方程 (3)y'+cosx=e-sin x是非齐次线性方程， ④)-=10+，不是线性方程. dx

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 若 Q(x)  0, 若 Q(x)  0, 称为非齐次方程. 称为齐次方程 ; 考察下列方程是否是(或能否化为)线性方程？ y=3x 是非齐次线性方程 2+5x 是非齐次线性方程 (2)3x 2+5x−y=0 (3)y+ycos x=e −sin x  (4) x y dx dy + =10  不是线性方程 (1) y dx dy (x−2) =   0 2 1 = − − y dx x dy (1) y  是齐次线性方程 dx dy (x−2) =   0 2 1 = − − y dx x dy (1) y  是齐次线性方程 dx dy (x−2) =   0 2 1 = − − y dx x dy  是齐次线性方程 (4) x y dx dy + =10  不是线性方程

1.解齐次方程 dy+P(x)y=O d 分离变量 dy =-P(x)dx y 两边积分得 Iny=-∫P(x)dx+lnC 故通解为 y=Ce-fP(x)dx 例1火方程：2密少的通解 解原方程可变为少_1 ax-2y=0, 这是齐次线性方程.由通解公式得原方程的通解为 y=Cel=Cem-2-C(x-2)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 ( ) 0 d d + P x y = x y 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 ln y = − P(x)dx + ln C 故通解为 P x x y Ce − ( )d = 例 1 求方程 y dx dy (x−2) = 的通解 解 原方程可变为 0 2 1 = − − y dx x dy  这是齐次线性方程 由通解公式得原方程的通解为 ( 2) 2 ln( 2) 1 = = −  = − − y Ce Ce C x x dx x 

山东农业大 2.解非齐次方程 dy+P(x)y=Q(x) d 用常数变易法：作变换(x)=(x)eP(x)dx,则 WeP(eP()e-(x) du 即 drs 两端积分应带夜提通解 u=e(x)e 故原方程的通解y=ePa[)e“d+C 即 y=Ced[Qx)e 齐次方程通解 非齐次方程特解

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 对应齐次方程通解 P x x y Ce − ( )d = 齐次方程通解 非齐次方程特解  − P x x Ce ( )d 2. 解非齐次方程 ( ) ( ) d d P x y Q x x y + = 用常数变易法: ( ) ( ) , − ( )d = P x x y x u x e 则  −  P x x u e ( )d + P(x)  − P x x u e ( )d = Q(x) 故原方程的通解 e Q x e x P x x P x x ( ) d ( )d ( )d    − +     = +    − y e Q x e x C P x x P x x ( ) d ( )d ( )d 即 y = 即 作变换  − − P x x P x u e ( )d ( ) u Q x e x C P x x = +   ( ) d ( )d 两端积分得

例2.解方程 dy 2v =(x+1) 、 dx x+ 解：方法一先解 dy_2y=0,即 dy2dx dx x+1 y x+l 积分得lny=2lnx+1+lnC,即y=C(x+I)2 用常数变易法求特解.令y=u(x·(x+1)2,则 y'=W.(x+1)2+2u-(x+1) 代入非齐次方程得'=(x+)为 解得 u-3x+)+C 故原方程通解为"=+[x+3+C

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 解方程 解: 方法一先解 0 , 1 2 d d = + − x y x y 即 1 d 2d + = x x y y 积分得 即 2 y = C(x +1) 用常数变易法求特解. 令 ( ) ( 1) , 2 y = u x  x + 则 ( 1) 2 ( 1) 2 y  = u   x + + u  x + 代入非齐次方程得 解得 u = x + 2 +C 3 ( 1) 3 2 故原方程通解为

主计 方本堂 例2.解方程 d业-2y=x+)2. dx x+l 方法二公式法)这P=Q=- 由通解公式得 y=ea+ie1品+g =6x+1P6x+(+12+C=6x+1P(x+02+C 即 y=(x+I(x+I+C]

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 解 这里 1 2 ( ) + =− x P x  2 5 方法二 Q(x)=(x+1)  (公式法) 由通解公式得 [ ( 1) ] 1 2 2 5 1 2 y e x e dx C d x x d x x +  +  =  + − + ( 1) [ ( 1) ( 1) ] 2 2 5 2 = x+ x+ x+ dx+C  − ( 1) ] 3 2 ( 1) [ 2 3 2 ( 1) [ ( 1) ( 1) ] = x+ x+ +C  2 2 5 2 = x+ x+ x+ dx+C  − ( 1) ] 3 2 ( 1) [ 2 3 2 = x+ x+ +C  即 ( 1) ] 3 2 ( 1) [ 2 3 2 y = x+ x+ +C  例2. 解方程

例3.解方程 dy y dx 2(Iny-x) 解：可化为关于x的一阶线性方程 d+2x= Iny d y y 这里 P0=2. 00)=2m -e2aw-n

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 d d 2(ln ) y y x y x = − 解: 可化为关于 x 的一阶线性方程 例3. 解方程 这里 ( )d ( )d ( ) d P y y P y x x e Q y e y C −     = +      2 2 d d 2ln d y x y y y x e e y C y −     = +        2 1 ln 2 C y y = − +

苏本堂 例4.有一电路如图所示，其中电源 电动势为E=Em sin@,t电阻R和电 感L都是常量，求电流i(t). 解：列方程.由回路电压定律： 在闭合回路中，所有支路上的电压降为0 已知经过电阻R的电压降为Ri 经过L的电压降为Ld业 dt 因此有E-LdRi=0,即 di R. sin@t dt dt L 初始条件：=0=0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0 例4. 有一电路如图所示, 电阻 R 和电 ∼ L E R K 解: 列方程 . 已知经过电阻R 的电压降为R i 经过 L的电压降为 t i L d d 因此有 0 , d d − − Ri = t i E L 即 L E t i L R t i m sin d d + = 初始条件: 0 i t = 0 = 由回路电压定律: 其中电源 感 L 都是常量, 求电流

di R Em sinot 1三 dt L t=0=0 解方程 利用一阶线性方程解的公式可得 0-e54[片uo层d山+c R2(Rsinai-@Lcos@t)+Ce Em 由初始子住[设c

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 ∼ L E R K 解方程: L E t i L R t i m sin d d + = 0 i t = 0 =     = +    − y e Q x e x C P x x P x x ( ) d 由初始条件: ( )d0 ( )d i t=0 = 得 +C 利用一阶线性方程解的公式可得

因此所求电流函数为 i(t)= @LEm e l R2+02L2 Em R2+o2L2 (Rsinot-@Lcos@t) 解的意义：令p=arctan R R @LEm L+ Em (t)= sin(ot-o) R2+o22 VR2+02L 暂态电流 稳态电流

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 t L R m e R L LE i t − + = 2 2 2 ( )   ( sin cos ) 2 2 2 R t L t R L Em     − + + t L R m e R L LE i t − + = 2 2 2 ( )   sin( ) 2 2 2    − + + t R L Em 暂态电流 稳态电流 令 arctan ,则 R  L  = ∼ L E R K 因此所求电流函数为 解的意义: