《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）分部积分法

山东农大学 高等数 第三节分部积分法

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第三节分部积分法

设函数u=u(x)及y=v(x)具有连续导数.那么， (uw)'='v+uv', 移项得 uw'=(w)'-l'v. 对这个等式两边求不定积分，得 ∫w'dk=w-∫nvdk,或judw=w-∫vdL, 这两个公式称为分部积分公式 选取u及v'(或dv)的原则： 1)v容易求得； 2)∫vdr比∫uv'dr容易计算

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 设函数u=u(x)及v=v(x)具有连续导数. 那么, (uv)=uv+uv , 移项得 uv=(uv)−uv. 对这个等式两边求不定积分, 得 这两个公式称为分部积分公式.   uv dx =uv− u vdx  或  udv=uv− vdu    uv dx =uv− u vdx  或  udv=uv− vdu  1) v 容易求得 ; 容易计算

分部积分：∫v'dk=∫uw=w-∫vdhu=w-∫dk 例1 求积分「xcosxdx. 1 解（一）令u=c0sX,xk=5d2=dw 2 ∫rosa-苦cse+j号nh (二)令u=x,cosxdx=dsinx=w [xcosxdx =fxdsinx=xsinx-fsinxde =xsinx+cosx+C

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 cos .  x xdx 解（一）令 u = cos x, xdx = dx = dv 2 2 1  xcos xdx  = + xdx x x x sin 2 cos 2 2 2 （二）令 u = x, cos xdx = d sin x = dv  xcos xdx  = xd sin x  = xsin x − sin xdx = xsin x +cos x +C. 例1 求积分 分部积分：  = = − = −      uv dx udv uv vdu uv u vdx

山东农大号 主讲人：苏本衣 分部积分： ∫uv'dr=∫udw=iuw-∫vdu=uw-∫u'vdk 例2 求积分 「x2 cos xdx ∫x2 cosxdx=∫dsin x=x2sinx-∫sin xdx2 x2sin x-2xsin xdx =x2sin x+2xdcosx =x2sin x+2(xcosx-cosxdx) =x2 sin x+2xcosx-2sin x+C 思考： 「x3 sin xdx 怎样积分？ 「x”sin xd,「x”cosxdx怎样积分？

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 分部积分：  = = − = −      uv dx udv uv vdu uv u vdx cos . 2  例2 求积分 x xdx  x cos xdx 2  = x d sin x 2 2 2 x sin x sin x d x  = − x x x x d x  = sin − 2 sin 2 x sin x 2 x d cos x 2  = + sin 2( cos cos ) 2 x x x x x d x  = + − = x sin x + 2x cos x − 2sin x +C 2 思考:  x sin xdx 3 怎样积分?   x xdx x xdx n n sin , cos 怎样积分?

分部积分： ∫uv'dk=∫udw=uw-∫vdu=uw-∫vdk 例3 ∫xe'dr=∫xder=xer-∫e'dk =xex-ex+C. 例4∫x2e*dc=∫x2e*=x2e-∫ed2 =x2e*-2[xe*dx =x2e*-2(xdex -x2ex-2xe*+2[e*dx =x2ex-2xex+2ex+C =e'(x2-2x+2)+C

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3 例4 =x 2e x−2xex+2e x+C =e x (x 2−2x+2 )+C. 例 2 xe dx xde xe e dx xe e C x x x x x x = = − = − +    例 2 xe dx xde xe e dx xe e C  x x x x x x = = − = − +    例 2 xe dx xde xe e dx xe e  C x x x x x x = = − = − +    例 2 xe dx xde xe e dx xe e C  x x x x x x = = − = − +     例 2 xe dx xde xe e dx xe e C x x x x x x = = − = − +     例 3    = = − 2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x   = − = − x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2  = x e − xe + e dx x x x 2 2 2 例 3    = = − 2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x 例 3    = = − 2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x 例 3    = = − 2 2 2 2 x e dx x de x e e dx x x x x   = − = − x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2  = x e − xe + e dx x x x 2 2 2   = − = − x x x x x e 2 xe dx x e 2 xde 2 2  = x e − xe + e dx x x x 2 2 2 分部积分：  = = − = −      uv dx udv uv vdu uv u vdx

山东农大 分部积分： v'dk=∫udw=uw-∫vdu=w-∫dk 例5 Jxlnxds-fxdx-ds =22nx-J=22nx-4+C. 例6 arccosxdx=xarccosx-[xdarccosx -xarecosx-J(1-x)d(l-x) =xarccosx-/1-x2+C

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 分部积分：  = = − = −      uv dx udv uv vdu uv u vdx 例5 例6 例 4    = = −  dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2 = x x−  xdx = x x− x +C 2 2 2 4 1 ln 2 1 2 1 ln 2 1  例 4    = = −  dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2 例 4    = = −  dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2 例 4    = = −  dx x x xdx xdx x x x 1 2 1 ln 2 1 ln 2 1 ln 2 2 2 = x x−  xdx = x x− x +C 2 2 2 4 1 ln 2 1 2 1 ln 2 1  例 5   arccosxdx = xarccosx− xd arccosx dx x x x x − = + 2 1 1 arccos (1 ) (1 ) 2 1 arccos 2 2 1 2 = x x− −x d −x  − = x x− −x +C 2 arccos 1  例 5   例 5 arccosxdx = xarccosx− xd arccosx   arccosxdx = xarccosx− xd arccosx

例7 arctanxdx2 2ar©tan 1x2arctanx- =22 rcta-分x+号aa+C 解题技巧：选取u及v'的一般方法： 反：反三角函数 把被积函数视为两个函数之积， 对：对数函数 按“反对幂指三” 幂：幂函数 鹼序，前者为u后者为. 指：指数函数 三：三角函数

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例 例 6 7   = 2 arctan 2 1 xarctanxdx xdx  + = −  dx x x x x 2 2 2 1 1 2 1 arctan 2 1  + = − − dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 1 2 2 = x x− x+ arctanx+C 2 1 2 1 arctan 2 1 2  例 6   = 2 arctan 2 1 xarctanxdx xdx  + = −  dx x x x x 2 2 2 1 1 2 1 arctan 2 1  + = − − dx x x x ) 1 1 (1 2 1 arctan 2 1 2 2 解题技巧: 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的顺序, 前者为 u 后者为 v  . 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数

1人 例8 xarctan x dx=farctanxd+ +x =1+xarctanx-v1+xd(arctanx) -1+xarctanx-fxI r2 =i+arctanx-小g =V1+x2arctanx -ln|x+1+x2+C

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例8  + dx x x x 2 1 arctan  = + 2 arctan xd 1 x 1 arctan 1 (arctan ) 2 2 x x x d x  = + − + dx x x x x 2 2 2 1 1 1 arctan 1 + = + − +   dx x x x  + = + − 2 2 1 1 1 arctan 1 x arctan x 2 = + 2 − + + + ln | 1 | . x x C

例9求[e*sinxdx. 解因为 「esinxdx=∫sinxde'=e*sinx-∫e*dsinx =e*sinx-「e'cosxd=e*sinx-∫cosxde =exsinx-e*cosx+e*dcosx =e*sinx-excosx+e*dcosx =exsinx-excosx-exsinxdx, 所以 [e*sinxcx-e(sinx-cosx)+C

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 解 因为 例 例 7 9 求 e xdx x sin      e xdx = xde = e x − e d x x x x x sin sin sin sin   = − = − x x x x e sin x e cosxdx e sin x cosxde  = e x − e x + e d x x x x sin cos cos  = e x − e x + e d x x x x sin cos cos  = e x − e x − e xdx x x x sin cos sin     e xdx = xde = e x − e d x x x x x sin sin sin sin    e xdx = xde = e x − e d x x x x x sin sin sin sin   = − = − x x x x e sin x e cosxdx e sin x cosxde 所以 e xdx e x x C x x = − +  (sin cos ) 21 sin 

例10求sec3xd, 解因为 fsec3xdk=secx·-sec2xdkr=∫secxdtanx =secxtanx-secxtan2xdx =secxtanx-secx(sec2x-1)dx =secxtanx-sec3xdx+secxdx =secxtanx+In |secx+tanx|-sec3 xdx, 所以 [scdtta+C

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 解 因为 例 例 10 8 求  xdx 3 sec     sec xdx = sec x sec xdx = secxd tan x 3 2  = x x − x xdx 2 sec tan sec tan  =sec xtan x − sec x(sec x − 1 )dx 2   =sec xtan x − sec xdx + secxdx 3  = x x + x + x − xdx 3 sec tan ln |sec tan | sec  所以  xdx 3 sec = (sec xtan x +ln |sec x +tan x|) + C 21     sec xdx = sec x sec xdx = secxd tan x 3 2    sec xdx = sec x sec xdx = secxd tan x 3 2