《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）函数的单调性与曲线的凹凸性

山东衣农大学 第四节函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第四节函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点

、函数单调性的判定法 定理1设函数x)在[a,b上连续，在(a,b)内可导 (1)如果在(a,b)内f'(x)>0,则x)在[a,b]上单调增加； (2)如果在(a,b)内f'(x)0，x2-x>0,所以 x2一x1=f'(5x2-x1>0, 即 x1孔x2), 这就证明了函数x)在(a,b)内单调增加

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、函数单调性的判定法 定理1 设函数f(x)在[a b]上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)0 x2−x1>0 所以 f(x2 )−f(x1 )=f (x)(x2−x1 )>0 即 f(x1 )<f(x2 )  这就证明了函数f(x)在(a b)内单调增加 证明 只证(1) 在(a b)内任取两点x1  x2 (x1<x2 )

例1讨论函数y=e*-x-1的单调性. 解y=ew-1. 函数y=x-x-1的定义域为(-oo,o).因为在(-oo,0)内 y0,所以函数y=ex-x-1在[0，+oo)上单 调增加 例2讨论函数y=x2的单调性 y= 解函数的定义域为(-o,+∞). /冠(0，画数在0处不可导， 因为x0,所以函数在[0，+o)上单调增加

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 函数y=ex−x−1的定义域为(− ) 因为在(− 0)内 y0 所以函数 y=e x−x−1在[0 +)上单 调增加 解 y=e x−1 例1 讨论函数 y=e x −x−1的单调性 解 函数的定义域为(− +) 因为x>0时 y>0 所以函数在[0 +)上单调增加 因为x<0时 y<0 所以函数在(− 0] 上单调减少 例2 讨论函数 3 2 y = x 的单调性 3 3 2 x y  = (x0) 函数在 x=0 处不可导

主讲 苏本堂 确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数的定义域； (2)求出导数f'(x); (3)求出f'(x)全部零点和不可导点； (4)判断或列表判断； (5)综合结论. 例3.确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解：f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2) 令f'(x)=0,得x=1,x=2 利用x=1,x=2划分函数的定义域，列表讨论

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (1)确定函数的定义域 (2)求出导数f (x) (3)求出f (x)全部零点和不可导点 (4)判断或列表判断 (5)综合结论 确定函数单调区间的步骤 例3. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f  x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x =1, x = 2 利用 x =1, x = 2 划分函数的定义域,列表讨论

例3.确定函数f(x)=2x3-9x2+12x-3的单调区间 解：f'(x)=6x2-18x+12=6(x-1(x-2) 令f'(x)=0,得x=1,x=2 (-00,1)1 (1,2) 2 (2,+0) f'(x) 0 f(x) 2 故f()的单调增区间为(-0,1)，(2，+∞)： f(x)的单调减区间为(1,2). 1

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3. 确定函数 的单调区间. 解: ( ) 6 18 12 2 f  x = x − x + = 6(x −1)(x − 2) 令 f (x) = 0 , 得 x =1, x = 2 x f (x) f (x) (−,1) 2 0 0 1 (1, 2) (2, + ) + − + 2 1 故 的单调增区间为 (−,1), (2, + ); 的单调减区间为 (1, 2). 1 2 o x y 1 2

方本 例4.证明：当1时，2W>3-1 X 证明：令fx)=2W-(3-),则 )- 因为当x>1时，f'(x)>0,所以x)在[1，+o)上x)单调 增加.因此当x>1时，x)>1)=0,即 2-6->0, 也就是2>3-1(1)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 ( 1) 1 1 1 ( ) 2 2  = − = x x − x x x f x  因为当x>1时 f (x)>0 所以f(x)在[1 +)上f(x)单调 增加 ) 0 1 2 −(3−  x x  因此当x>1时 f(x)>f(1)=0 即 例4  证明: 当 x1 时 x x 1 2 3−  ) 1 ( ) 2 (3 x 证明: 令 f x = x − −  则 也就是 x x 1 2 3− (x1)

山东厅 例5.证明0<x≤ 时，成立不等式 sinx、2 2 元 证：令f(x)= X π 则f()在(0，习1上连续，在(0，习)上可导，且 f(x)=x.cosx-sinx_cosx x2 x2(x-tanx)<0 因此f()在(0，无)内单调递减， tan x 又)在处左连续，因此f()≥f)=0 从而

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例5. 证明 时, 成立不等式 证: 令 , sin 2 ( )  = − x x f x 2 cos sin ( ) x x x x f x  −  = ( tan ) cos 2 x x x x = − 1 tan x x  0 从而 因此 且

山东农业大 等数 主计 二、曲线的凹凸性与拐点 问题：如何研究曲线的弯曲方向？ 0 y=f(x) f(x)+f(x2) y 2 y=f(x) f(x2) f(x)+f(x2) f(x) f(xz) f(x) 2 x,x 0 x1+x2 2 图形上任意弧段位 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 于所张弦的上方

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、曲线的凹凸性与拐点 问题:如何研究曲线的弯曲方向? x y o x y o 1 x x2 y = f (x) 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 x y o y = f (x) x1 2 x 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 A B C 2 x1 + x2 2 x1 + x2 2 ( ) ( ) 1 2 f x + f x 2 ( ) ( ) 1 x2 f x + f ) 2 ( x1 x2 f + ) 2 ( x1 x2 f + ( ) x1 f ( ) x1 f ( ) x2 f ( ) x2 f

二、曲线的凹凸与拐点 定义.设函数f(x)在区间I上连续，x1,2∈I, 若恒有))，/），则称的 2 图形是凸的 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , (1) 若恒有 则称 图形是凹的; (2) 若恒有 则称 连续曲线上有切线的凹凸分界点 称为拐点 . 图形是凸的 . y o x1 x2 x 2 1 2 x +x y o x1 x 2 1 2 x +x 2 x y o x 二、曲线的凹凸与拐点

观察与思考 观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系. y=f(x) 0 b b x f'()递增y">0 f'(x)递减 y"0,则x)在a,b]上的图形是凹的； 若在(a,b)内f"(x)<0,则x)在[a,b]上的图形是凸的

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 观察与思考 观察切线斜率的变化与曲线凹凸性的关系. x y o y = f (x) a b A B f (x) 递增 x y o y = f (x) a b B A y  0 f (x) 递减 y  0 定理2(曲线凹凸性的判定法) 设f(x)在[a b]上连续 在(a b)内具有二阶导数. 若在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上的图形是凹的 若在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上的图形是凸的