《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）函数的极值与最大值最小值

东农天 高数 第五节函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第五节函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题

山东农业大 、函数的极值及其求法 函数的极值 设函数x)在点x的某邻域Uxo)内有定义，如果对于任意 x∈U(x)有 fx)x), 则称x)是函数x)的一个极大值（或极小值）， 函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得 极值的点称为极值点 y=f(x) 1)函数的极值是函数的 局部性质 2)对常见函数，极值可能出现 在导数为0或不存在的点 aXI X2 X3 X4 X5 b

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 函数的极值 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0 )内有定义 如果对于任意 xU(x0 )有 f(x)f(x0 ) (或f(x)f(x0 )) 则称f(x0 )是函数f(x)的一个极大值(或极小值) 。 x1 x2 x3 x4 x5 函数的极大值与极小值统称为函数的极值, 使函数取得 极值的点称为极值点. 一、函数的极值及其求法 2) 对常见函数, 极值可能出现 在导数为 0 或不存在的点. 1) 函数的极值是函数的 局部性质

定理1（必要条件） 设函数孔x)在点x处可导，且在xo处取得极值， 那么f'(xo=0. 驻点 使导数f'(x)为零的点（方程f'(x)=O的实根）称为函数x) 的驻点 思考： 极值点是否一定是驻点？驻点是否一定是极值点？ 思考： 极值点不一定是驻点.如=x,x=0是极值点，但不可导 驻点不一定是极值点.如y=x3,x=0是驻点，但不是极值点

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f (x0 )=0. 驻点 使导数f (x)为零的点(方程f (x)=0的实根)称为函数f(x) 的驻点. 定理1(必要条件) 思考: 极值点是否一定是驻点？ 驻点是否一定是极值点？ 思考: 极值点不一定是驻点. 如y=|x|,x=0是极值点,但不可导 驻点不一定是极值点.如y=x 3 ,x=0是驻点,但不是极值点

山东农业大 定理2（极值第一判别法） 设函数f(x)在xo的某邻域内连续，且在空心邻域 内有导数，当x由小到大通过x时， (1)f'(x)“左正右负” 则f(x)在x取极大值。 (2)∫'(x)“左负右正” 则f(x)在x取极小值； 点击图中任意处动画播放暂停 确定极值点和极值的步骤 (1)求出导数f'(x): (2)求出x)的全部驻点和不可导点， (3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f'(x)的符号； (4)确定出函数的所有极值点和极值

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理 2 (极值第一判别法) ( ) , 设函数 f x 在x0的某邻域内连续 且在空心邻域 内有导数, , 当x由小到大通过 x0时 (1) f (x) “左正右负” , ( ) ; 则f x 在x0 取极小值 (2) f (x) “左负右正” , ( ) . 则f x 在x0 取极大值 点击图中任意处动画播放\暂停 确定极值点和极值的步骤 (1)求出导数f (x); (2)求出f(x)的全部驻点和不可导点; (3)考察在每个驻点和不可导点的左右邻近f (x)的符号; (4)确定出函数的所有极值点和极值

例1.求函数f(x)=(x-1)x3的极值 解0求导数了0+x-x- 2)求极值可疑点 令f'(x)=0,得x1=号；令f"'(x)=o,得x2=0 3)列表判别 x(-0,0) (0,) 25 (层，+0) f'(x) 0 f(x) 0 0.33 .x=0是极大点，其极大值为f(0)=0 x=号是极小点，其极小值为f()=-0.33

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 求函数 的极值 . 解:1) 求导数  = 3 + 2 f (x) x 3 1 3 2 ( 1) − x −  x 3 5 2 3 5 x x− =  2) 求极值可疑点 令 f (x) = 0 , 得 ; 5 2 x1 = 令 f (x) =  , 得 x2 = 0 3) 列表判别 x f (x) f (x)  0 5 2 0 + − + 0 − 0.33 (−, 0) (0 , ) 5 2 ( , ) 5 2 +  是极大点，其极大值为 是极小点，其极小值为

本 定理3（极值第二判别法） 设函数f(x)在点xo处具有 二阶导数，且f'(x)=0,"(x)≠0 (I)若f"()0,则f(x)在点xo取极小值. 证：()f(o)=1im)-f)=1imfy x→X0 x-X0 x→x0X-X0 由f"(x)0，当00; 当x0<x<x0+6时，f'(x)<0, xo8 xo xo+S 由第一判别法知f(x)在xo取极大值 (2)类似可证

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理3 (极值第二判别法) 二阶导数 , 且 则 在点 取极大值 ; 则 在点 取极小值 . − + 证: (1) ( ) 0 f  x 0 0 ( ) ( ) lim 0 x x f x f x x x −  −  = → 0 ( ) lim 0 x x f x x x −  = → ( ) 0 , 由 f  x0  知 存在   0, 0 , 当  x − x0   时 故当 x0 −  x  x0时，f (x)  0; 当x0  x  x0 + 时，f (x)  0, 0 x 0 x0 − x + + − 由第一判别法知 ( ) . f x 在x0 取极大值 (2) 类似可证

例2求函数fx)=(x2-1)3+1的极值， 解f'(x)=6xx2-1)2. 令f'(x)=0,求得驻点x=-1,x2=0,x3=1. f"(x)=6(x2-1)(5x2-1) 因为f"(0)=6>0,所以fx)在x=0处取得极小值， 极小值为0)=0. 因为f"(-1)=∫"(1)=0，所以用定理3无法判别. 因为在-1的左右邻域内f'(x)<0, 所以x)在-1处没有极值 同理，x)在1处也没有极值

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2 求函数f(x)=(x 2−1)3+1的极值 解 f (x)=6x(x 2−1)2  令f (x)=0求得驻点x1=−1 x2=0 x3=1 f (x)=6(x 2−1)(5x 2−1) 因为f (0)=60所以f (x)在x=0处取得极小值 极小值为f(0)=0 因为f (−1)=f (1)=0 所以用定理3无法判别 因为在−1的左右邻域内f (x)0 所以f(x)在−1处没有极值 同理 f(x)在1处也没有极值 1 x y −1

例3 试问a为何值时，f(x)=asinx+。sin3x 3 2 在x=。π时取得极值，求出该极值，并指出它是极大 3 还是极小 解：f'(x)=acosx+cos3x,由题意应有 ff)=aca号n+ews3)-0 .a=2 又f(c)=-2sinx-3sin3x，f"x)<0 ∴.f(x)取得极大值为f(号π)=V3

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 试问 a 为何值时, f x a x sin 3x 3 1 ( ) = sin +  3 2 在 x = 时取得极值 , 还是极小. 解:  f (x) = 由题意应有  ) = 3 2 f (   a = 2 又  f (x) =  f (x) 取得极大值为 ( ) 3 3 2 f  = ) 3 2 ) cos3( 3 2 a cos(  +  − 2sin x −3sin3x, 求出该极值,并指出它是极大 例3

二、最大值与最小值问题 若函数x)在闭区间[a,b]上连续则其最值只能 在极值点或端点处达到. 求函数最值的方法： (1)求出函数x)在(a,b)内的驻点和不可导点，设这此 点为x1,x2,··,xn (2)计算函数值a),x1),··,xn),b): (3)上述函数值中的最大者是函数x)在[a,b]上的最 大值，最小者是函数x)在[a,b]上的最小值. 特别：当f(x)在[a,b内只有一个极值可疑点时， 若在此点取极大（小）值，则也是最大（大）值 对应用问题，有时可根据实际意义判别求出

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、最大值与最小值问题 则其最值只能 在极值点或端点处达到. 求函数最值的方法: 若函数f(x)在闭区间[a b]上连续 (1)求出函数f(x)在(a b)内的驻点和不可导点设这此 点为x1  x2      xn ; (2)计算函数值 f(a) f(x1 )     f(xn ) f(b) ; (3)上述函数值中的最大者是函数f(x)在[a b]上的最 大值 最小者是函数f(x)在[a b]上的最小值 特别: 当 在 内只有一个极值可疑点时, 若在此点取极大(小) 值 , 则也是最大(大) 值 . 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出

主计 苏本堂 例4.求函数f(x)=2x3-9x2+12x 上的最大值和最小值 解：显然∫(x)∈C[-,],且 e-aa2 0< e0-gw2e8g 0<x≤ f()在[-4，]内有极值可疑点=0,2=1,3=2 f()=3号，f(0)=0,f①)=5，f(2)=4,f()=5 故函数在x=0取最小值0；在x=1及)取最大值5

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (2 9 12) 2 x − x + ( 9) 4 2 12 2  = − −   = 81−96  0 2 9 12 0 2  x − x +  f (x) = x 0 4 1 −  x  2 5 0  x  0 4 1 −  x  2 5 0  x  例4. 求函数 在闭区间 上的最大值和最小值 . 解: 显然 且 (2 9 12 ), 3 2 − x − x + x 2 9 12 , 3 2 x − x + x    f (x) = 6 18 12 2 − x + x − 6 18 12 2 x − x + x1 = 0, x2 =1, x3 = 2 故函数在 x = 0 取最小值 0 ; 在 x =1及 2 5 取最大值 5. = 6(x −1)(x − 2), = −6(x −1)(x − 2), 2 5 1 2 4 −1