《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）定积分的换元法和分部积分法

第三节定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第三节 定积分的换元法和分部积分法 一、定积分的换元法 二、定积分的分部积分法

山东农业大 一、定积分的换元法 定理假设函数x)在区间[a,b]上连续，函数=0(t) 满足条件： (1)(a)=a,0(B=b; (2)(t)在[，（或[B,)上具有连续导数，且其值域 不越出[a,b],则有 [(xdx=di. 证明由已知条件知，两端的积分都存在，设Fx)是孔x)的一 个原函数，则F[p(t)]是∫[p(t)]p(t)的原函数，因此有 f(x)dr=F(b)-F(a）=FLp(B)】-F[o(a] =∫fot]p'()dr

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理 假设函数f(x)在区间[a, b]上连续, 函数x=(t) 满足条件: (1)()=a, ()=b; (2)(t)在[, ](或[, ])上具有连续导数, 且其值域 不越出[a, b], 则有 f x dx f t t dt b a ( ) [( )] ( )   =     一、定积分的换元法 的原函数 ,因此有 = F(b) − F(a) = F[()] − F[()] (t) (t) (t) (t) (t) 证明 由已知条件知,两端的积分都存在, 设F(x)是f(x)的一 个原函数, 则 是

心fr=jef[oo'a0dr 例1.计算ava2-x2dr(a>0), 解：令x=asint,则dx=acostdt,且 当x=0时，t=0,x=a时，t= .原式=a22cos2tdr y y=va2-x2 0 70+os20d S a X 2 2 sin2t) 2 πa (t+ 2 2

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (t) (t) 例1. 计算 解: 令 x = asint, 则 dx = acost dt , 当x = 0时, t = 0; , . 2  x = a 时 t = ∴ 原式 = 2 a t t a (1 cos 2 )d 2 2 0 2  = +  sin 2 ) 2 1 ( 2 2 t t a = + 0 2   2 0  cos t dt 2 2 2 y = a − x o x y a 且

本堂 0fvwdr=f[po]o'0di 例2计算cos xsin xdx. [cos xsinxdx=cos xdcosx 兰-ri=ah=gr6- 或 cos xsinxx=cos xd cosx =-6os明=石cos号+名cos0=6 注： 换元一定要换积分限，不换元积分限不变

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (t) (t) 例 2 计算 cos xsin xdx 2 5 0   例2  解 cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0   =−   cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0   =−   cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0   =−   6 1 cos 0 6 1 2 cos 6 1 cos ] 6 1 [ 6 6 2 0 6 =− =− + =   x  6 1 cos 0 6 1 2 cos 6 1 cos ] 6 1 [ 6 6 2 0 6 =− =− + =   x  6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos − = = =   = t dt t dt t 令 x t  6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos − = = =   = t dt t dt t 令 x t  6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos − = = =   = t dt t dt t 令 x t  6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos − = = =   = t dt t dt t 令 x t  6 1 ] 6 1 [ 1 0 6 1 0 5 0 1 5 cos − = = =   = t dt t dt t 令 x t  cos xsin xdx cos xd cosx 2 5 0 2 5 0   =−   或 提示： 当 x=0 时 t=1 当 2  x= 时 t=0 注： 换元一定要换积分限 不换元积分限不变

ftr-jfIo01p0ar 例3计算sn3x-sm3xd. 3 解sm3x-sinxd水=sin2 xlcosxld水 -mnxcosxdr-inxcosxdr 3 sinxdsinxsin xdsinx 3 -m刘号mg-号-(3专

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (t) (t) 解 例 例 3 3 计算 −  0 3 5 sin x sin xdx  sin x sin xdx sin 2 x|cosx|dx 3 0 0 3 5   − =   sin x sin xdx sin 2 x|cosx|dx 3 0 0 3 5   − =     = −    2 2 3 2 0 2 3 sin xcosxdx sin xcosxdx   = −    2 2 3 2 0 2 3 sin xd sin x sin xd sin x 提示： sin sin sin (1 sin ) sin |cos | 2 3 3 5 3 2 x− x = x − x = x x  在 ] 2 [0,  上|cos x|=cos x 在 , ] 2 [   上|cos x|=−cos x 5 4 ) 5 2 ( 5 2 sin ] 5 2 sin ] [ 5 2 [ 2 2 5 2 0 2 5 = − = − − =    x x  5 4 ) 5 2 ( 5 2 sin ] 5 2 sin ] [ 5 2 [ 2 2 5 2 0 2 5 = − = − − =    x x 

0fdr=2f[oe]p'e)di 例4.计算02+ 4x+2 dx. 解：令1=v2x+则x-2,=1d,且 2 当x=0时，t=1;x=4时，t=3 ÷原赋-2，-+， 9*n号

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例4. 计算 解: 令 t = 2x +1, 则 , d d , 2 1 2 x t t t x = − = 当x = 0时, x = 4时, t = 3. ∴ 原式 = t t t t d 3 2 1 2 1 2  + − (t 3)dt 2 1 3 1 2  = + 3 ) 3 1 ( 2 1 3 = t + t 1 3 t =1; 且 (t) (t)

例5.设f(x)∈C[-a,a], 偶倍奇零 ()若f(-)=f(),则，f(x)dr=20f(x)dr 2)若f(-)=-f(),则“fx)dx=0 证：nfx)d=,f(x)dr+j0fx)dx -of(-)dt+of()dx 令x=-t =∫Lf(-x)+fx)]dx 了2。fd,f(-x)=f()时 =10, f(-x)=-f(x)时

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例5. 证: (1) 若   − = a a a f x x f x x 0 则 ( )d 2 ( )d = − f x x a a ( )d (2) 若 ( )d = 0 − a a 则 f x x f x x a ( )d 0 − f x x a ( )d 0  + f t t a ( )d 0  = − f x x a ( )d 0  + f x f x x a [ ( ) ( )]d 0  = − + f (−x) = f (x)时 f (−x) = − f (x)时 偶倍奇零 令x = −t =

主进 苏本堂 例6.计算∫(x3+4)V9-xdr. 解：∫(x3+4N9-xdr 3元=18π =jr9-F+49-h=0+4 例.计算。dr 解：利用例5的结论f(x)dr=0Lf(-x)+f(x)]dr 设f)= 1+e, x2 则f)+f(-)=1+e+1+e j4=小目

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例6. 计算 解: 例7. 计算 解: 利用例5的结论 f x x a a ( )d − f x f x x a [ ( ) ( )]d 0  = − + 设 则

例8若孔x)在[0,1]上连续，证明 ()后n(sin.x)d=f(cosx)b; xsin x dx. (2寸sn=受f(sin.xyds.由此计算co心x 证明(0)令x=受-1，则 后fsnx=-Sfsn3-0h =sin(写-h=度f(cosxX

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例8 若f(x)在[0, 1]上连续, 证明 (2)   =    0 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx  (1)   = 2 0 2 0 (sin ) (cos )   f x dx f x dx  由此计算 . 1 cos sin 0 2 dx x x x  +  证明 证明 (1)令 x= −t 2   则 f x dx f t)]dt 2 (sin ) [sin( 0 2 2 0 =− −        = − = 2 0 2 0 )] (cos ) 2 [sin(    f t dt f x dx  f x dx f t)]dt 2 (sin ) [sin( 0 2 2 0 =− −        = − = 2 0 2 0 )] (cos ) 2 [sin(    f t dt f x dx 

山东农业大 本堂 例8若孔x)在[0,1]上连续，证明 (1f(sinx)d=f(cosxd xsin x dx. （②snd=号5smx本.由此计算1c0 证明(2)令x=π-1.因为 (sin.x)dx=-心（π-0/sin(π-th =(π-t)/sin(π-0t=(π-tf(sint)dt f(sint)dif(sint)dt =πf(sinx)dx-xf(sinx))d 所以 0f((sinx)d=牙f(sinx)太

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例8 若f(x)在[0, 1]上连续, 证明 (2)   =    0 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx  (1)   = 2 0 2 0 (sin ) (cos )   f x dx f x dx  由此计算 . 1 cos sin 0 2 dx x x x  +  证明 (2)令x=−t. 因为   =− − − 0 0 (sin ) ( ) [sin( )]   xf x dx  t f  t dt   = − − = −      0 0 ( t)f[sin( t)]dt ( t)f (sint)dt   = −    0 0 f (sint)dt tf (sint)dt   = −    0 0 f (sin x)dx xf (sin x)dx 所以   =    0 0 (sin ) 2 xf (sin x)dx f x dx    =− − − 0 0 (sin ) ( ) [sin( )]   xf x dx  t f  t dt   = − − = −      0 0 ( t)f[sin( t)]dt ( t)f (sint)dt