《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）定积分在物理学上的应用

东农大周 人术 第三节定积分在物理学上的应用 变力沿直线所做的功 二 水压力 三 引力

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第三节 定积分在物理学上的应用 一 变力沿直线所做的功 二 水压力 三 引力

一、变力沿直线所作的功 设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从x=a移动到 x=b,力的方向与运动方向平行，求变力所做的功 在[a,b]上任取子区间[x,x+dx],在其上所作的功元 素为 dw=F(x)dx xx+dx b x 因此变力F(x)在区间[a,b]上所作的功为 w =[F(x)dx

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、 变力沿直线所作的功 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 力的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 . a x x + d x b x 在其上所作的功元 素为 dW = F(x)dx 因此变力F(x) 在区间 上所作的功为  = b a W F(x)dx

例1.在一个带+q电荷所产生的电场作用下，一个单 位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处(a<b), 求电场力所作的功 解：当单位正电荷距离原点r时，由库仑定律电场力为 F=k +9.+1 则功的元素为dW= o a rridr h r 所求功为 w=g-匈[8日为 说明：电场在r=a处的电势为。gdr kq a

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 一个单 求电场力所作的功 . + q o a r r + dr b r +1 +1 解: 当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为 则功的元素为 r r kq dW d 2 = 所求功为       = − r kq 1 a b ) 1 1 ( a b = kq − 说明: a k q = 位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a < b) , 在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下

方本堂 例2.在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气 体，由于气体的膨胀，把容器中的一个面积为S的活塞从 点α处移动到点b处（如图），求移动过程中气体压力所 作的功 解：建立坐标系如图.由波义耳一马略特定律知压强 kk p与体积V成反比，即p= rS' 故作用在活塞上的 力为 F=p.S=k 功元素为 dw=Fdx =*dx o axx+dx b 所求功为 形-小经dr=Anx刘E-kng

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 S 例2. 体, 求移动过程中气体压力所 o x 解: 由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从 点 a 处移动到点 b 处 (如图), 作的功 . a b 建立坐标系如图. xx + dx 由波义耳—马略特定律知压强 p 与体积 V 成反比 , 即 功元素为 故作用在活塞上的 所求功为 力为 在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气

例3.一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3m, 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功？ 解：建立坐标系如图.在任一小区间 [x,x+dx]上的一薄层水的重力为 g·p:π32dx(KN 5m 这薄层水吸出桶外所作的功（功元素）为 x+dx dW=9πg pxdx 3m 故所求功为 X w=[3 9xgpxdx-9x Bp20 5 设水的密 度为p =112.5πgp(K)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3. 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐标系如图. o x 3m x x + d x 5m 在任一小区间 [x, x + dx] 上的一薄层水的重力为 g  3 dx 2   这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为 dW= 9g  x dx 故所求功为  = 5 0 W 9 g x d x = 9 g  2 2 x =112.5 g  ( KJ ) 设水的密 0 度为  5 (KN) 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m

等数学 主讲 苏本堂 二、水压力 设液体密度为p 深为h处的压强：p=gph 当平板与水面平行时 h 平板一侧所受的压力为 P=卫A ·当平板不与水面平行时， 面积为A的平板 所受侧压力问题就需用积分解决

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 面积为 A 的平板 二、水压力 设液体密度为 深为 h 处的压强: p = g  h 当平板与水面平行时, h P = p A 当平板不与水面平行时, 所受侧压力问题就需用积分解决 . 平板一侧所受的压力为 • •

例4.一水平横放的半径为R的圆桶，内盛半桶密度为 p的液体，求桶的一个端面所受的侧压力 解：建立坐标系如图.所论半圆的 方程为 y=±VR2-x2 (0≤x≤R) 利用对称性，侧压力元素 0 dp=2gpxR2-x2 dx x+dx 端面所受侧压力为 R P-J2gpxVR-28eR 2

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 小窄条上各点的压强 p  g  x 3 3 2g R  = 例4.  的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力. 解: 建立坐标系如图. 所论半圆的 (0  x  R) 利用对称性 , 侧压力元素  = R P 0 2g x R x dx 2 2  − o x y R x x + d x 2 2 dP = 2 R − x g  x 端面所受侧压力为 dx 方程为 一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为

说明：当桶内充满液体时，小窄条上的压强为gp(R+x) 侧压力元素dP=2gp(R+xWR2-x2dx, 故端面所受侧压力为 P-f28 p(RRd a -4RgPfR2-x 奇函数 x+dx R 令x=Rsint(P350公式67) X 48n子R2-子+mcm装1哈 =πgpR3

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂   0 arcsin 2 2 4 g 2 2 2 R R R x R x x = R  − + 2 d , 2 2 R − x x 说明:当桶内充满液体时,小窄条上的压强为 g  (R + x), 侧压力元素 dP = 故端面所受侧压力为 奇函数 3 =  g  R g  (R + x)  = − R R R x x 0 2 2 4 g  d 令 x = Rsint ( P350 公式67 ) o x y R x x + d x

三、引力问题 质量分别为m1,m2的质点，相距r, m2 二者间的引力： 大小：F=k%2 r2 方向：沿两质点的连线 若考虑物体对质点的引力，则需用积分解决

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 三、 引力问题 质量分别为 的质点 , 相距 r , m1 m2 r 二者间的引力: 大小: 方向: 沿两质点的连线 若考虑物体对质点的引力, 则需用积分解决

例5.设有一长度为1，线密度为u的均匀细直棒，在 其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M,试计算 该棒对质点的引力： 解：建立坐标系如图.细棒上小段 a M d Fx [x,x+dx]对质点的引力大小为 dFy dF=k mudx a2+x2 故垂直分力元素为 dFy=-dF cos a 2 一k mudx a dx =-kmua a2+x2 va2+x2 (a2+x2)月

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例5. 设有一长度为l, 线密度为 的均匀细直棒, 其中垂线上距a 单位处有一质量为 m 的质点 M, M 该棒对质点的引力. 解: 建立坐标系如图. y 2 l 2 l − [x, x + dx] 细棒上小段 对质点的引力大小为 d F = k m dx 2 2 a + x 故垂直分力元素为 d Fy = −dF cos a  + = − 2 2 d a x m x k  2 2 a x a + 2 3 ( ) d 2 2 a x x km a + = −  a o x x  在 试计算 d F d Fx d Fy x + d x