《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）全微分

第三节全微分 一、全微分的定义 二*、全微分在近似计算中的应用

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、全微分的定义 二*、全微分在近似计算中的应用 第三节 全 微 分

山东农业大 本 一、全微分的定义 1.偏增量与偏微分 根据一元函数微分学中增量与微分的关系，有 x+△x,y)-x,y)fx,y)△x, Ax,y+Ay)fx,y)f(x,y)Ay, x+△x,y)x,)—函数，y)对x的偏增量 x,件△y)x,)—函数x,y)对的偏增量 f(x,y)△x 函数孔x,y)对x的偏微分 f(x,y)△ 函数x,y)对y的偏微分 全增量 △2=x+△x,y+△y)-x,y)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、全微分的定义 ————函数f(x, y)对x的偏微分 ——函数f(x, y)对y的偏增量 ————函数f(x, y)对y的偏微分 全增量 z=f(x+x, y+y)−f(x, y). 1.偏增量与偏微分 f(x+x, y)−f(x, y)f x (x, y)x, f(x, y+y)−f(x, y)f y (x, y)y, ——函数f(x, y)对x的偏增量 根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有 f(x+x, y)−f(x, y) f(x, y+y)−f(x, y) f x (x, y)x f y (x, y)y

2.全微分的定义 如果函数z=孔x,y)在点(x,y)的全增量 △=x+△x,y+△y)-x,y) 可表示为=A△r+BAy+o(p)(p=V(x)P+(△y)2), 其中A、B不依赖于△x、△y而仅与x、y有关，则称函数 =x,y)在点(x,y)可微分，而A△x+B△y称为函数=x,y)在 点x,y)的全微分，记作dz,即 dz=A△x+B△y 如果函数在区域D内各点处都可微分，那么称这函数 在D内可微分

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2.全微分的定义 其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y有关, 则称函数 z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 而Ax+By称为函数z=f(x, y)在 点(x, y)的全微分, 记作dz, 即 dz=Ax+By. 如果函数在区域D内各点处都可微分, 那么称这函数 在D内可微分. 如果函数z=f(x, y)在点(x, y)的全增量 z=f(x+x, y+y)−f(x, y) 可表示为 ( ) ( ( ) ( ) ) 2 2 z = Ax+By+o   = x + y 

由微分定义： lim△2=Iim[(A△x+BAy)+o(p)]=0 △x→0 D→01 △y-→0 得 limf(x+△x,y+△y)=f(x,y) △x→0 △y-→0 即 函数z=f(x,y)在点(x,y)可微 函数在该点连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系： (1)函数可微二 偏导数存在 (2)偏导数连续二 函数可微

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (2) 偏导数连续 z = f (x + x, y +  y) − f (x, y) lim( ) ( ) 0   = Ax + By + o → 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → 由微分定义 : 得 z y x   →  → 0 0 lim = 0 = f (x, y) 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即

定理1（必要条件）若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微 则该函数在该点偏导数 020三必存在，且有 Oxay dz= 0x y ay 证：由全增量公式△z=A△x+B△y+o(p),令△y=0, 得到对x的偏增量 △xz=f(x+△x,y)-f(x,y)=A△x+o(△x) lim △x2=A Ox△x-0△x 同样可证 02=B,因此有dz= ay O2 Ly Ox

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 , 则该函数在该点偏导数 y y z x x z z     +   d = x z    同样可证 B, y z =   证: 由全增量公式 令y = 0, = Ax + o( x ) 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 x + x x 因此有 x zx x   =  →0 lim = A

方本 注：定理1的逆定理不成立.即： 偏导数存在函数不一定可微 I 反例：函数，川=r+2,+ x2+y2=0 易知fx(0,0)=f(0,0)=0,但 A2-[f.(0,0)ax+f,(0.0)A=axy+aW △x△y △x△y △x△y ar+ap1A 0 ≠o(P)因此，函数在点(0,0)不可微

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 反例: 函数 f (x, y) = 易知 (0, 0) = (0, 0) = 0 , x y f f 但 z [ f ( 0, 0) x f ( 0, 0) y]  − x  + y   o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 . 注: 定理1 的逆定理不成立 . 2 2 ( x) ( y) x y  +    = 2 2 ( x) ( y) x y  +    = 0 偏导数存在函数 不一定可微 ! 即: , 0 2 2 2 2 +  + x y x y xy 0, 0 2 2 x + y =

定理2（充分条件）若函数z=f(x,y)的偏导数 10z 0z Ox'ay 在点(x,y)连续，则函数在该点可微分. 证：△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) =[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y] +[f(x,y+△y)-f(x,y)川 =fx(x+eAx,y+Ay)Ax+fy(x,y+02Ay)Ay (0<01,02<1) =[fx(x,y)+a]Ax+[fy(x,y)+B]Ay lim a=0,lim B=0 △x-→0 △x-→0 △y→0 △y-→0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 = [ f (x + x, y + y) ] 定理2 (充分条件) y z x z     , 证： z = f (x + x, y + y) − f (x, y) (0 , 1) 1  2  f x y x = [ x ( , ) + ]       f x y y y = f x (x +1x, y + y)x + y ( , + 2 ) − f (x, y + y) +[ f (x, y + y ) − f (x, y)] f x y y +[ y ( , ) + ] 若函数 的偏导数 在点(x, y) 连续, 则函数在该点可微分.   lim 0 0 0 =  →  →  y x lim 0, 0 0 =  →  →  y x

方本 △z=. =fx(x,y)△x+v(x,y)△y+△x+B△y a=0,B=0） △x→0 △x→0 △y→0 △y→0 注意到 Asa+8.敲有 Az=fx(x,y)Ax+fy(x,y)Ay+o(p) 所以函数z=f(x,y)在点(x,y)可微

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 z = f x y x f x y y = x ( , ) + y ( , ) z f x y x f x y y  = x ( , ) + y ( , )       + x + y 所以函数 + x +  y 在点 可微.       lim 0 0 0 =  →  →  y x lim 0, 0 0 =  →  →  y x 注意到 , 故有 + o( )

推广：类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 例如，三元函数u=f(x,y,z)的全微分为 du= Ou ou Az 8x Oy 02 习惯上把自变量的增量用微分表示，于是 du= oudx+ 0d2 记作dxu dyu d-u dxu,dyu,du称为偏微分.故有下述叠加原理 du=dxu+dyu+d:u

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂  +   x x u 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 u = f (x, y,z) d u = 习惯上把自变量的增量用微分表示, d u = 记作 故有下述叠加原理 u u u u x y z d = d + d + d 称为偏微分. z z u d   + uz d 的全微分为  +   y y u z z u    于是 u u u x y z d ,d ,d

例1.计算函数z=ey在点(2,1)处的全微分 =yexy, 0z 解： =xexy 8x 0y 0z Ox (2,1) ay(2,1) 2e2 .dz =e2dx+2e2dy=e2(dx+2dy) (2,1) 例2.计算函数u=x+sin二+ez的全微分 解：du=1dx+(3cos5+ze2)dy+yedz

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分. 解: =   x z 2 2 2 (2,1) , (2,1) e y z e x z =   =   例2. 计算函数 的全微分. 解: d u = y y ( cos )d 2 2 1 + =   y z , xy ye xy xe y z z e