《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）二重积分的计算法

主》 苏本堂 第二节二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第二节 二重积分的计算法 *三、二重积分的换元法 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分

、 利用直角坐标系计算二重积分 如果积分区域为：a≤x≤b, p(x)≤y≤p2(x) [X-型] y=Q(x) =p2(x) D D y=9(x) 其中函数p(x)、p2(x)在区间[a,b]上连续 则 nfd-d1x过

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 如果积分区域为： a  x  b, ( ) ( ). 1 x  y   2 x ［X－型］ ( ) 2 y =  x a b D ( ) 1 y =  x D a b ( ) 2 y =  x ( ) 1 y =  x 其中函数 ( ) 、 在区间 上连续. 1 x ( ) 2  x [a,b] 一、利用直角坐标系计算二重积分 D f (x, y)dx dy f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1     = b a 则 d x

山东农业大 等数 主讲 苏本堂 如果积分区域为：c≤y≤d, p(y)≤x≤p2(Jy) [Y-型] x=0() x=o(y) x三p2(Jy) xio=广fx D X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点 Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 如果积分区域为： c  y  d, ( ) ( ). 1 2  y  x   y ［Y－型］ ( ) 2 x =  y ( ) 1 x =  y D c d c d ( ) 2 x =  y ( ) 1 x =  y D ( , ) ( , ) . ( ) ( ) 2 1    = D d c y y f x y d dy f x y dx    X型区域的特点： 穿过区域且平行于y轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直 线与区域边界相交不多于两个交点

注：(I)若积分区域既是X-型区域又是Y-型区域， 则有 f(xy)dxdy y=02(x) -af x=v(y) =2(y) D =dx,w a bx 为计算方便，可选择积分序，必要时还可以交换积分序 (2)若积分域较复杂，可将它分成若干y X型域或Y型域，则 川n=∬o+小n,+川o 3

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 o x y 注: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , D f (x, y)dx dy 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. ( ) 2 y = x o x y D a b ( ) 1 x = y ( ) 2 x = y d c 则有 x ( ) 1 y = x y f x y y x x ( , )d ( ) ( ) 2 1     = b a d x f x y x y y ( , )d ( ) ( ) 2 1     = d c d y (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 D1 D2 D3 X-型域或Y-型域 ,     = + + D D1 D2 D3 则

苏本 (3)二重积分化累次积分的步骤 ①画域，②选序，③定限 (4)累次积分中积分的上限不小于下限 (5)二重积分化累次积分定限是关键，积分限 要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好 区域的草图，特别要画好围成D的几条边界线

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 （3）二重积分化累次积分的步骤 ①画域，②选序，③定限 （4）累次积分中积分的上限不小于下限 （5）二重积分化累次积分定限是关键，积分限 要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好 区域的草图，特别要画好围成D的几条边界线

若是X一型，就先y后x, 若是Y一型，就先x后y, 注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层 积分限是常数。 例1 改变积分”fc,y)的次序 解 积分区域如图，既是X一型， 也是Y一型 0.e y=1-x 0.6 原式=4fx,) 0.2 0.20.40.60.81

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 若是X—型，就先 y 后 x， 若是Y—型，就先 x 后 y ， 注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层 积分限是常数。 例 1 改变积分   − x dx f x y dy 1 0 1 0 ( , ) 的次序. 解 积分区域如图, 既是X－型， 也是Y－型 y = 1− x 原式   − = y dy f x y dx 1 0 1 0 ( , )

本 例2改变积分 2f,p+dxf化，的次序 解积分区域如图 y=2-x 1.5 原式=pf

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 y = 2 − x 2 y = 2x − x 例 2 改变积分     − − + x x x dx f x y dy dx f x y dy 2 0 2 1 2 0 1 0 ( , ) ( , ) 2 的次序. 原式   − − − = 1 0 2 1 1 2 ( , ) y y dy f x y dx. 解 积分区域如图

例3.交换下列积分顺序 1=x-22fx 解：积分域由两部分组成： J0≤y≤)x2 x2+y2=8 2≤x≤2W2 1 将D=D1+D2视为Y-型区域，则 22W2x 图- 1-.ys

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3. 交换下列积分顺序     − = + 2 2 8 0 2 2 2 2 0 2 0 d ( , )d d ( , )d x x I x f x y y x f x y y 解: 积分域由两部分组成: , 0 2 0 : 2 2 1 1        x y x D 8 2 2 x + y = D2 2 2 y o 2 x D1 2 2 1 y = x 2        − 2 2 2 0 8 : 2 2 x y x D 将D = D1 + D2    D : 视为Y–型区域, 则 2 2y  x  8 − y 0  y  2  = D I f (x, y)d x d y  − 2 8 2 ( , )d y y f x y x  = 2 0 dy

例4.计算1=∬Dxdo,其中D是直线y=1,x=2,及 y=x所围的闭区域 .1≤y≤x 解法1.将D看作X-型区域，则D1≤x≤2 I-dxddx 2 1 -I5x2-5]x8 ∫y≤x≤2012 解法2.将D看作Y-型区域，则D:1<y≤2 1-dx-ia-=l2y-8

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 x y 2 1 1 y = x o 2  = 2 1 dy 例4. 计算 d ,  = D I xy  其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. x 解法1.将D看作X–型区域, 则    D : I =  2 1 d x xyd y  = 2 1 d x    = − 2 1 2 3 1 2 1 x x dx 8 9 =   1 2 2 1 x xy 解法2.将D看作Y–型区域,则    D : I =  xyd x  2 1 d y   y x y 2 2 2 1    = − 2 1 3 2 1 2y y dy 8 9 = y 1 x y 2 1 y  x 1 x  2 y  x  2 1 y  2

例5.计算 小Dxdo,其中D是抛物线y2=x及直线 y=x-2所围成的闭区域！ 2 解：为计算简便，先对x后对y积分， 则 y=x-2 da-品d =2]ay-20+22-51ay +22-612

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例5. 计算 d , D xy  其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,    D :  xy d x  D xyd − = 2 1 dy   − + = 2 1 2 2 2 1 x y 2 dy y y − = + − 2 1 2 5 [ ( 2) ] d 2 1 y y y y D y = x 2 y = x − 2 2 −1 4 o y x y 2 2 y  x  y + −1 y  2 2 y y + 2 及直线 则