《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）傅里叶级数

第七节傅里叶级数 一、三角级数三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第七节 傅里叶级数 一、三角级数 三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数 三、正弦级数和余弦级数

山东农业大 主讲 一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动：y=Asin(ot+p)(谐波函数) (A为振幅，o为角频率，o为初相) 复杂的周期运动：y=A0+∑An sin(nwt+pn) n=1 (谐波迭加) An sinon cosnot+An cos on sinnot ao=Ao,an An sin on,bn=An cosn=x 令2 00 得函数项级数 a+∑(dn c+b,sinnx） 2 k=1 称上述形式的级数为三角级数

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、三角级数及三角函数系的正交性 简单的周期运动 : (谐波函数) ( A为振幅, 复杂的周期运动 : A n t A n t n sin n cos  + n cos n sin  令 sin , n An n a =  cos , n An n b =  得函数项级数 ( cos sin ) 2 1 0 a nx b nx a n n k +  +  = 为角频率, φ为初相 ) (谐波迭加) 称上述形式的级数为三角级数

定理1.组成三角级数的函数系 1,c0sx,sinx,cos2x,Sin2x,.,cosx,sinx,. 在[-π，π]上正交，即其中任意两个不同的函数之积在 [-π，π]上的积分等于0 i证：∫1 cosndx=∫1·sinnxdx=0(n=l1,2,) "cos kx cosnx dx coskxcos nx=[cos(k+n)x+cos(k-n)x] =cosk+m)x+cos(k-m)x]dx=0(k≠m） 同理可证：sin kx sin nx dx=0(k≠n) ∫coskx sin dx=0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 cos(k n)x cos(k n)x d x 2 1 = + + − −   定理 1. 组成三角级数的函数系 证:  −   1 cos nxd x =  −   1 sin nxd x = 0 cos kx cos nxdx −   = 0 sin sin d = 0 − kx nx x  同理可证  : 正交 , 上的积分等于0 . 即其中任意两个不同的函数之积在 cos sin d = 0 − kx nx x   (k  n )

但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[一π，π] 上的积分不等于0.且有 [I.ldx=2z ∫cos2nxdx=元 (n=1,2,.） sin2xdr=元 cos2 nx= 1+cos2nx 1-cos 2nx sinnx= 2 2

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 上的积分不等于 0 .    11d = 2 − x sin nx dx 2 −   cos n xdx 2 −   , 2 1 cos 2 cos2 nx nx + = 2 1 cos 2 sin2 nx nx − = 且有 =  =  但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在

二、函数展开成傅里叶级数 定理2.设f(x)是周期为2π的周期函数，且 f=号+a,os+,s如 00 ① n=1 右端级数可逐项积分，则有 〔an=Jnf(ax)cosnxdx (n=0,l） ② fx)sinnxdx (n=1,2.) 证：由定理条件，对①在[-π，]逐项积分，得 -2dx2到a.j小o+d =aoπ

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、函数展开成傅里叶级数 定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 ( cos sin ) 2 ( ) 1 0 a nx b nx a f x n n n = +  +  = 右端级数可逐项积分, 则有 证: 由定理条件,     +    =  +     − − =1 − − 0 d cos d sin d 2 ( ) n n n x a nx x b nx x a f x d x         ① ② 对①在 逐项积分, 得

苏本堂 ao =-["f(x)dx ∫，fax)coskxdx=_coskxdx+- 2J-π a.costienmdr+6jomtanxdr 00 + =acos2kxdx=aπ 。π (利用正交性) &-号./()eoskxdx(t=1,2-） 类似地，用sin kx乘①式两边，再逐项积分可得 sinkrdx (

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 = +   − − kx x a f x kx x cos d 2 ( ) cos d 0       =   + n 1 + − a kx nx x n cos cos d   b kx nx x n cos sin d −   a kx x k cos d 2 − =   a f x kx x k ( ) cos d 1 −  =    ( k =1, 2, ) (利用正交性)   ( )sin d ( 1, 2, ) 1 =  =  − b f x kx x k k    a f (x)d x 1 0 −  =    类似地, 用 sin k x 乘 ① 式两边, 再逐项积分可得

fN-受+2(a,asn+asn) 00 n=l a,-i/0 wmdx @=r0.l） 0。上)simdx (a=1.2, ② 由公式②确定的an,bn称为函数 ∫(x)的傅里叶系数；以f(x)的傅里 叶系数为系数的三角级数①称为 ∫(x)的傅里叶级数

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 叶系数为系数的三角级数 ① 称为 的傅里叶系数 ; ( )  = = + + 1 0 cos sin 2 ( ) n n n a nx b nx a f x − = =    ( ) cos d ( 0,1, ) 1 an f x n x x n  由公式 ② 确定的 ① ② 以 − = =    ( )sin d ( 1, 2, ) 1 bn f x n x x n  的傅里 的傅里叶级数 . 称为函数

主 苏本堂 定理3（收敛定理，展开定理） 设f(x)是周期为2π的 周期函数，并满足狄利克雷(Dirichlet)条件： 1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点， 2)在一个周期内只有有限个极值点， 则f(x)的傅里叶级数收敛，且有 注意：函数展成 傅里叶级数的条 9+∑(a,cosr+b,sinr） 件比展成幂级数 2 n=1 的条件低得多 f(x), x为连续点 +、x为间断局 2 其中an,bn为f(x)的傅里叶系数.（证明略）

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛, 且有     = f (x) , , 2 ( ) ( ) + − f x + f x x 为间断点 其中 n n a , b 为 f (x) 的傅里叶系数 . ( 证明略 ) x 为连续点 注意: 函数展成 傅里叶级数的条 件比展成幂级数 的条件低得多

例1.设f(x)是周期为2元的周期函数，它在[-π，π) 上的表达式为 -π≤x<0 0≤x<π 将f(x)展成傅里叶级数 解：先求傅里叶系数 a,-∫f0 cox =0 (n=0,1,2,.)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为      − −   =   x x f x 1, 0 1, 0 ( ) 解: 先求傅里叶系数   = − +  −     0 0 1 cos d 1 ( 1) cos d 1 nx x nx x = 0 ( n = 0 ,1, 2 , ) 将 f (x) 展成傅里叶级数. o y x −1 − 1 

方本 b,=∫f)sind (-sin tdxsin m],"]-w w1 4 当n=1,3,5,. 当n=2,4,6,. 2k- sin(2k-l)x+.] (-00<x<+0,x≠0，士π，±2π，.)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂   = − +  −     0 0 1 sin d 1 ( 1)sin d 1 nx x nx x 0 1 cos  −     = n nx   0 1 cos   −   + n nx     n n 1 cos 2 = −   n n 1 ( 1) 2 = − −     = , 4 n 0 , 当n =1, 3 , 5 ,  当n = 2 , 4 , 6 ,   f x =  sin x + 4 ( )  sin 3x + 3 1  − + − + k x k sin(2 1) 2 1 1  (−  x  + , x  0 ,  ,  2 , )