《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）一般周期的傅里叶级数

第八节一般周期的傅里叶级数 到现在为止，我们所讨论的周期函数都是以 2π为周期的.但是实际问题中所遇到的周期函 数，它的周期不一定是2π.怎样把周期为2λ的周 期函数x)展开成三角级数呢？

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第八节 一般周期的傅里叶级数 到现在为止, 我们所讨论的周期函数都是以 2p为周期的. 但是实际问题中所遇到的周期函 数, 它的周期不一定是2p. 怎样把周期为2l的周 期函数f(x)展开成三角级数呢？

以21为周期的函数的傅里叶展开 周期为21函数f(x) 变量代换z=πx 1 周期为2π函数F(z) 将F2)作傅氏展开 f(x)的傅氏展开式

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 以2 l 为周期的函数的傅里叶展开 周期为 2l 函数 f (x) 周期为 2p 函数 F(z) 变量代换 l x z p = 将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式

定理.设周期为21的周期函数f(x)满足收敛定理条件， 则它的傅里叶展开式为 (在f(x)的连续点处) 其中 (codx (. bn=fsn”Tdxa=1,2.）

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶展开式为 (在 f (x) 的连续点处) an = x l n x f x l b l l n ( )sin d 1 p − = 其中 定理. l 1 x l n x f x l l ( ) cos d p − (n = 0,1, 2, ) (n =1, 2, )

14 证明：令z= x,则x[-1,1]变成z∈[-π，π] 令F(a)=f)=f),则 +2a)=20-月+2n） =f5)=F(e) 所以F(z)是以2π为周期的周期函数，且它满足收敛 定理条件，将它展成傅里叶级数： F(e)=a+∑(an cosn=+b sin nz） n= (在F()的连续点处)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 证明: 令 l x z p = , 则 令 ( ) , p lz = f 则 ) ( 2 ) ( 2 ) ( p p p + + = l z F z f ( 2l ) lz = f + p ( ) p lz = f 所以 且它满足收敛 定理条件, 将它展成傅里叶级数: ( 在 F(z) 的连续点处 ) f (x) 变成 是以 2p 为周期的周期函数

F(z)cosnzda (n=0,1,2,.) 其中 bn=∫rF(e))sinnzdz (n=1,2,3,.) πX 令 2= (cosdx (1.2 b,7sm”axa=12.3 1 (在f(x)的连续点处) 证毕

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 a F z nz z n ( ) cos d 1 − = p p p 其中 b F z nz z n ( )sin d 1 − = p p p 令 l x z p = l an 1 = x l n x f x l b l l n ( )sin d 1 p − = (n = 0,1, 2, ) (n =1, 2, 3, ) (n = 0,1, 2, ) (n =1, 2, 3, ) ( 在 f (x) 的 连续点处 ) x l n x f x l l ( ) cos d p − 证毕

山东农业 说明：如果f(x)为奇函数，则有 nπx f(x)=∑b,sin (在f(x)的连续点处) n=1 其中，-fx)sm (n=1,2,.) 如果f(x)为偶函数，则有 (x)= nπx (在f(x)的连续点处) 2 n=1 其中a,-fcos”xa=0,12, 注：无论哪种情况，在f(x)的间断点x处，傅里叶级数 收敛于[f(x)+f(x+)小

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 说明: = ( )sin d ( =1, 2,)  x n l n x b f x n p 其中 (在 f (x) 的连续点处) 如果 f (x) 为偶函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处) = ( ) cos d ( = 0,1, 2,)  x n l n x a f x n p 其中 注: 无论哪种情况 , 在 f (x) 的间断点 x 处, 傅里叶级数 收敛于 如果 f (x) 为奇函数, 则有

例1设x)是以4为周期的函数，它在[-2,2)上的表达 式为 -公 -2r<0常数k+0 0≤x<2 将孔x)展开成傅里叶级数 解这是1=2，由公式得 a扩a+打=k k :nπ 2k 当n=1,3,5,. nπ 0 当n=2,4,6

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1 设f(x)是以4为周期的函数, 它在[−2, 2)上的表达 式为      −   = 0 2 0 2 0 ( ) k x x f x (常数 k0) 将f(x)展开成傅里叶级数. 解 这是l=2,由公式得 0 2 0 2 0 1 1 0 2 2 a dx kdx − = +   = k. 2 0 1 cos 2 2 n k xdx p =  an  ( 1, 2, ) n = 2 0 [ sin ]| 0 2 k n x n p p =  = 2 0 1 sin 2 2 n n b k xdx p =   (1 cos ) k n n p p = − 2 0 [ cos ]| 2 k n x n p p = −  2 1,3,5, , 0 2,4,6, k n n n p   = =    = 当 当 k − 2 x y − 4 0 2 4

主讲 苏本堂 2k a=k,an=0(n=l,2,.) 当n=1,3,5,. n元 0 当n=2,4,6,. ⑧专2n石而3T 所以 +-(sin -+-sin- 十 -sin 2+325 2+ (-o0<x<+00,X≠0，±2，±4，.） 函数x)在点x=0,±2，士4，士6，··是间断的，在这些点 )的傅里叶级数收敛于今

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 0 a k = , 0 n a = ( 1, 2, ) n = 2 1,3,5, , 0 2,4,6, n k n b n n p   = =    = 当 当 所以 2 1 3 1 5 ( ) (sin sin sin ) 2 2 3 2 5 2 k k x x x f x p p p p = + + + + ( ; 0, 2, 4, ) −   +    x x 函数f(x)在点x=0, 2, 4, 6,   是间断的, 在这些点 f(x)的傅里叶级数收敛于 . 2 k k − 2 x y − 4 0 2 4

例2.把f(x)=x(0<x<2)展开成 (1)正弦级数； (2)余弦级数 在x=2k处级 数收敛于何值？ 解：(1)将(x)作奇周期延拓，则有 an=0(n=0,1,2,.) b= 2r2. nπXdx 2J0 、 2 xCOS- nπ +()广sm”灯1 nπ 4 4cosnπ=4(-10+1(n=1,2,.) nπ nπ 00 nπx ∴.f(x)= (-1)）n+1 sin (0<x<2) π n=1 n 2

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 把 展开成 (1) 正弦级数; (2) 余弦级数. 解: (1) 将 f (x) 作奇周期延拓, 则有 o 2 y x =   2 2 0 2 b x n x n x d 2 sin p  ( )  0 2 2 2 sin 2 2 cos 2 n x n n x x n p p p p = − + p p n n cos 4 = −   =  = 1 4 ( ) n f x p 2 sin ( 1) 1 n x n n p + − (0  x  2) 在 x = 2 k 处级 数收敛于何值?

山东农业大 主计 苏本堂 (2)将f(x)作偶周期延拓，则有 2r2 a0= x dx =2 2J0 2 nπXdx bn=0(n=1,2,.) 01 x·c0 2J0 2 2 nπ 2 n r-1=0 0, n=2k -8 (2k-102z2,n=2k-1 (k=1,2,.) f(x)=x=1-8分 π2(2k-10 cos (2k 2 (0<x<2)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 o 2 y x (2) 将 作偶周期延拓,  =  2 2 0 2 a x n x n x d 2 cos p  ( )  0 2 2 2 cos 2 2 sin 2 n x n n x x n p p p p = +   2 2 4 ( 1) 1 n n p = − −  f (x) = x  = 2 0 0 d 2 2 a x x 则有   = − − = − 1 2 2 2 (2 1) cos (2 1) 8 1 1 k k x k p p ( 0  x  2 )