《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）高斯公式

山东农业大 高等数学 主讲 方本堂 第六节高斯公式 一、高斯公式 二、通量与散度

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第六节 高斯公式 一、高斯公式 二、通量与散度

Newton-Lebniz公式 ra=F) b a Green公式 ↓股as-fr+ea Gauss公式 j瓜 2.or Ox dy Oz dxdydz=ff.Pdydz+Odzdx+Rdxdy

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 Newton-Lebniz 公式 ( ) ( ) b a b F x dx F x a  =  Green 公式    = +        −   D L x y P x Q y y P x Q d d d d Gauss 公式  = Pd y d z + Qd z d x + Rdx d y

山东农业大 一、 高斯公式 定理1设空间闭区域2是由分片光滑的闭曲面所围 成，函数P、Q、R在2上具有一阶连续偏导数，则有 品爱h-rt+0h+a, 叹亦器+号+2ch-年Pcoa+Qo+kas达 2 这里∑是2的整个边界的外侧，cosa,cosB、coS是∑在 点(x,y,)处的法向量的方向余弦. 证明：下面先证： a8ddyd:-f月uxdy

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、高斯公式 定理1设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围 成 函数P、Q、R在上具有一阶连续偏导数 则有 这里是的整个边界的外侧 cos、cos、cos是在 点(x y z)处的法向量的方向余弦     = + +   +   +   dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( )  或 d v P Q R d S z R y Q x P ( ) ( cos cos cos )     = + +   +   +       x y z z R d d d     = Rd x d y 证明: 下面先证:

证明：设2：(x,y)≤z(x,y)≤22(x,y),(x,y)∈Dy 为XY型区域，∑=∑1U∑2U∑3，∑1：z=1(x,y) ∑2：z=2(x,y),则 ∑2 瓜addd:儿od ∑3 =Dn{R(x八2(x) -R(x,y,=(x,y))dxdy 乐Rdxdy=-(以，++s)Rdxdy =j川pR(x,y(x,ydd-j小DR(x,y,(x,y》ddy

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂  2  3  1  z y x Dxy  R(x, y, ) − R(x, y, ) d x d y: ( , ), 1 1  z = z x y 证明 : 设 ,  = 12 3 z z z x y R z x y d ( , ) ( , ) 21    = D x y ( , ) 2 z x y ( , ) 1 z x y  R d x d y  = D x y (  = 2 x y z zR d d d   d x d y  + 1  + 3 ) R d x d y 为XY型区域 , : ( , ), 2 2  z = z x y 则 R(x, y, )dx dy  − D x y  = D x y ( , ) 2 z x y R(x, y, ( , ))d xdy 1 z x y

所以 dxdy 若2不是XY_-型区域，则可引进辅助面 将其分割成若干个XY_-型区域，在辅助面 正反两侧面积分正负抵消，故上式仍成立 类似可证 瓜nadd:-月Nd: 品 dxdyd-ff.Qd-dx 三式相加，即得所证Gauss公式： .OR :ay )dxd ydz =ffPdydz+Qdzdx+Rdxdy

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 所以 x y z z R d d d     = Rd x d y 若  不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立. 在辅助面 类似可证 x y z y Q d d d     = Pd y d z + Qd z d x + Rd xdy ( ) x y z z R y Q x P d d d   +   +     = Qd z d x x y z x P d d d     = Pd y d z 三式相加, 即得所证 Gauss 公式：

例1.用Gauss公式计算 (x-y)dxdy+(y-z)xdydz 其中∑为柱面x2+y2=1及平面z=0,z=3所围空间 闭域2的整个边界曲面的外侧 解：这里P=(y-z)x,Q=0,R=x-y 利用Gauss公式，得 原式=川y-z)dxdydz(用柱坐标) (rsin-=)rdrdodz -dordsino-2)d=-9 元 思考：若∑改为内侧，结果有何变化？ 若∑为圆柱侧面（取外侧），如何计算？

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 闭域  的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 =  ( y − z)d x d y d z  = (rsin − z)r dr d d z (用柱坐标) d rd r (rsin z) dz 3 0 1 0 2 0    =   −  2 9 = − x 3 o z 1 y P = ( y − z)x, Q = 0, R = x − y 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若  改为内侧, 结果有何变化? 若  为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算?

山东农业 本 例2.利用Gauss公式计算积分 I=八，(r2cosa+y2cosB+z2cosy)dS 其中∑为锥面x2+y2=22介于：=0及 z=h之间部分的下侧 解：作辅助面 ∑1：z=h,(x,y)∈Dxy:x2+y2≤h2,取上侧 记∑，∑1所围区域为2，则 在21上a=B=,y=0 I=(2+八5r2cosx+y2cosB+z2cos7)ds =2jx+y+z)dxdydz-∬。h2dxdy

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 利用Gauss 公式计算积分 其中  为锥面 2 2 2 x + y = z  h o z y 解: 作辅助面 x : , 1  z = h ( , ) : , 2 2 2 x y D x y h  xy +  取上侧  +  = 1 I (  − 1 )(x cos y cos z cos )d S 2 2 2  +  +  , 0 2 1  =  =  = 在 上  介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 1 记, 1 h 所围区域为, 则  = 2 (x + y + z)d x d y d z h x y Dx y d d 2  −

I2-dxdy 利用重心公式，注意x=y=0 =2。=dxdyd-πh4 -2:z2d-元h πh4

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂  I = 2 (x + y + z)d xdydz 利用重心公式, 注意 x = y = 0  = 2 z d x d ydz 4 − h h x y Dx y d d 2  − 4 2 1 = −  h  = h z 0 2 2  z dz 4 − h  h o z y x 1 h

山东农业大 等数 主计 方本 例3.设8为曲面z=2-x2-y2,1≤z≤2取上侧，求 I=[(x3z+x)dydz-x2y-d-dx-x2-2dxdy. 解：作取下侧的辅助面 :=1(x,y)EDx:x2+y2s1 1=升-川 用柱坐标 用极坐标 ∑+211 =fdxd-(-1)(-x2)dxdy x =jda∫dr小dz-∫cos20dedr 13π 12

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3. ( )d d d d d d . 3 2 2 2  I = x z + x y z − x yz z x − x z x y 设 为曲面 2 , 1 2 2 2 z = − x − y  z  取上侧, 求 解:作取下侧的辅助面 : 1 1 z = ( , ) : 1 2 2 x y  Dxy x + y  I =   +  − 1 1  = d x d ydz ( x )d x d y 2 − Dxy − (−1)  =   2 0 d  1 0 d r  −    2 0 2 cos d 12 13 = 1 z o x y 2 1  用柱坐标 用极坐标 1

练习题计算曲面积分∬(：2+x)-dkd,其中2是曲面 :x2+)2介于平面=0及=2之间的部分的下侧. 提示 1=非-川 ∑+∑1∑1 =g∯l-l)akd -∬(e2+x)db-zd山 =-∬-2adkd =8π. P

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例 3 计算曲面积分 z + x dydz− zdxdy   ( ) 2  其中  是曲面 ( ) 2 1 2 2 z= x + y 介于平面 z=0 及 z=2 之间的部分的下侧 练习题  z o x y 1 2 提示 I =   +  − 1 1 1 2 ( ) z x dydz zdxdy  − + −  1 (1 1)dxdydz + = −  2 Dxy = − − dxdy  = 8 . 