《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）方向导数与梯度

、本写 第七节方向导数与梯度 一、方向导数 二、梯度

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、方向导数 二、梯度 第七节 方向导数与梯度

一、方向导数 讨论函数z=f化，y在一点P沿某一方向的变化率 问题. 设函数z=x,y)在点Pxo,o)的某一邻域U(Po)内有定 义，1是xOy平面上以Pxyo)为始点的一条射线，与同方 向的单位向量为e=(cosa,cosβ) 取P(x+icosa,.yo+-tcosB)∈U(Po),如果极限 lim f(xo+tcosa,yo+tcosB)-f(xo-Yo) t→01 存在，则称此极限为函数孔x,y)在点P。 e 沿方向的方向导数，记为 af Po a1(） x

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、方向导数 讨论函数z=f(x,y) 在一点P沿某一方向的变化率 问题． 设函数z=f(x, y)在点P0 (x0  y0 )的某一邻域U(P0 )内有定 义 l是xOy平面上以P0 (x0  y0 )为始点的一条射线与l同方 向的单位向量为el=(cos cos) 取P(x0+tcos y0+tcos)U(P0 ) 如果极限 t f x t y t f x y t ( cos , cos ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 + + − → +   存在, 则称此极限为函数f(x, y)在点P0 沿方向l的方向导数, 记为 ( , ) 0 0 l x y f   

山东 方向导数 f lim f(xo+tcosa,Yo+tcos B)-f(xo-yo) (xo.yo) t-→01 t 方向导数就是函数x,y)在点P(,yo)处沿方向的 变化率 思考：函数x,y)在点P沿x轴正向和负向，沿轴正向和负 向的方向导数如何？ 沿x轴正向时，cosa=1,c0sB=0 lim f(xo+t,Yo)-f(xo2 yo) =对 o) t→0 t x\(xo.yo) 沿x轴正向时，coS=-1,c0sB=0 0a a逆 l(o-Yo) Oxl(xoo】

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 ( , ) 0 0 l x y f   t f x t y t f x y t ( cos , cos ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 + + − = → +    方向导数 方向导数就是函数f(x y)在点P0 (x0  y0 )处沿方向l的 变化率 思考: 函数f(x, y)在点P沿x轴正向和负向, 沿y轴正向和负 向的方向导数如何? 沿x轴正向时, cos=1 cos=0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim t x y f f x t y f x y l t → +  + − =  0 0 ( , ) x y f x  =  沿x轴正向时, cos=−1 cos=0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) x y x y f f l x   = −  

定理如果函数zx,)在点P(xo,)可微分，那么函数 在该点沿任一方向I(e=(cosa,cos)的方向导数都存在， 且有 f =f:(Xo-Yo)cos@+fy(xo-Yo)cosB. 证明：由于函数可微，则增量可表示为 fx,+△x,%+△y)-f,)=(,)△r+fxo,%)Ay+o(V△x)2+(4y)2) 但点(+△x,%+)在以(0，w)为始点的射线上，故有 Ar=icosa,△y=tcos B,.V△x)2+(△y)2=t,所以 lim fotcosa,Yo+icosB)-f(o) 1(xo.)10* t =f(xo2 Yo)cosa+f(xo2o)cos B

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理 如果函数z=f(x, y)在点P0 (x0  y0 )可微分, 那么函数 在该点沿任一方向l(el=(cos cos))的方向导数都存在, 且有 ( 0 , 0 )cos ( 0 , 0 )cos ( , ) 0 0 f x y f x y l f x y x y = +    证明:由于函数可微，则增量可表示为 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ( ) ( ) ) x y f x x y y f x y f x y x f x y y o x y +  +  − =  +  +  +  但点 0 0 ( , ) x x y y +  +  在以(x0,y0)为始点的射线l上,故有 2 2  =  =  +  = x t y t x y t cos , cos , ( ) ( )   ,所以 ( , ) 0 0 l x y f   t f x t y t f x y t ( cos , cos ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 + + − = → +    0 0 0 0 ( , )cos ( , )cos . x y = + f x y f x y  

山东农业大 等数 苏本草 函数x,y)在点Po沿方向l(e=(cosa,cos)的方向导数： 司店 =fs(xo-Yo)cosa+fy(xo-Yo)cosB. 例1求函数z=x2y在点P(1,0)处沿从点P到点Q(2,-1) 的方向的方向导数 解=儿-)，与同向的单位向堡为，（分 因为函数可微分，且 d虹 =e2y ax.0) =1, 1,0) n =2xe2y =2, (1,0) 所以所求方向导数为

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1 求函数z=xe2y在点P(1, 0)处沿从点P到点Q(2, −1) 的方向的方向导数. 解 所以所求方向导数为 函数f(x, y)在点P0沿方向l (el=(cos cos))的方向导数 ( 0 , 0 )cos ( 0 , 0 )cos ( , ) 0 0 f x y f x y l f x y x y = +    解 → PQ=(1, −1) 与 l 同向的单位向量为 ) 2 1 , 2 1 el =( −  因为函数可微分 且 1 (1,0) 2 (1,0) = =   y e x z  2 2 (1,0) 2 (1,0) = =   y xe y z  2 2 ) 2 1 2 ( 2 1 1 (1,0) =  +  − =−   l z  解 → PQ=(1, −1) 与 l 同向的单位向量为 ) 2 1 , 2 1 el =( −  1 (1,0) 2 (1,0) = =   y e x z  2 2 (1,0) 2 (1,0) = =   y xe y z 1  (1,0) 2 (1,0) = =   y e x z  2 2 (1,0) 2 (1,0) = =   y xe y z 1  (1,0) 2 (1,0) = =   y e x z  2 2 (1,0) 2 (1,0) = =   y xe y z 1  (1,0) 2 (1,0) = =   y e x z  2 2 (1,0) 2 (1,0) = =   y xe y z 1  (1,0) 2 (1,0) = =   y e x z  2 2 (1,0) 2 (1,0) = =   y xe y z  2 2 ) 2 1 2 ( 2 1 1 (1,0) =  +  − =−   l z  2 2 ) 2 1 2 ( 2 1 1 (1,0) =  +  − =−   l z 

例2.求函数z=3x2y-y2在点P(2,3)沿曲线y=x2-1 朝x增大方向的方向导数 解：将已知曲线用参数方程表示为 x=x y=x2-1 它在点P的切向量为(1,2x)川x=2=(1,4) 12元 1 4 .∴.C0Sa= 17’ COs B=17 器p-6m+0-2012 60

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线 朝 x 增大方向的方向导数. 解:将已知曲线用参数方程表示为 2 (1, 2 ) x= 它在点 P 的切向量为 x , 17 1  cos = 17 60 = o x y 2 P    = − = 1 2 y x x x = (1, 4) 17 4 cos  = −1

本 对于三元函数x,yz),类似的有 定义：若函数f(x,y,)在点P(x,y,z)处 沿方向1（方向角为，B,y)存在下列极限： /P(x,y,z) lim △f p→0 p =limf+Ax,y+Ay,z+)-fx,y,z)记作af p→0 P al p=V(△x)2+(△y)2+(△z)2, △x=pc0su,△y=pcos B,△z=pcos y 则称 为函数在点P处沿方向1的方向导数 al

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 l P(x, y,z) 定义: 若函数 f (x, y,z)    f →0 lim 则称 l f   l f    为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.   ( , , ) ( , , ) lim 0 f x + x y + y z + z − f x y z = → 在点 P(x, y,z) 处 沿方向 l (方向角为  ,  ,  ) 存在下列极限: P = 记作 对于三元函数f(x,y,z),类似的有

定理：若函数f(x,y,)在点P(x,y,z)处可微 则函数在该点沿任意方向1的方向导数存在，且有 a1 8x oy af.cosY of cosB+ 其中，B,y为l的方向角

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理: 若函数 f (x, y,z) 在点 P(x, y,z) 处可微 , 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , cos cos  cos z f y f x f l f   +   +   =   且有

山东农业大 等数学 主讲 苏本堂 例3.设万是曲面2x2+3y2+z2=6在点P(1,1,1)处 指向外侧的法向量，求函数4=y6r+8y 在点P处沿 方向n的方向导数 解：n=(4x,6y,2z)p=2(2,3,1) 2 3 方向余弦为cosa= ou 6x 6 而 8x P 5V6x2+8y2 p-√14 Bu 8 Ou 同理得 =-14 8y P 14’ Ou 1 On P 14 6×2+8x3-14×1)=)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3. 设 n 是曲面 在点 P(1, 1, 1 )处 指向外侧的法向量, 解: 方向余弦为 , 14 2 cos = , 14 3 cos  = 14 1 cos = 而 x P u   =    n P u 同理得 = 2(2 , 3 ,1) 方向 的方向导数. P (4x , 6y , 2z) 14 6 = 7 11 (6 2 8 3 14 1 ) = 14 1  +  −  z x y P x 2 2 6 8 6 + = 求函数 在点P 处沿 n = n

二、梯度 设函数z=孔x,y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数， 则对于每一点P(x,)ED,都可确定一个向量 (xo,yo)i(o,yo, 这向量称为函数x,)在点P(x,o)的梯度，记作 gradf(xo,o),或者Vf(x,o)即 gradf(xo:yo)=Af(xo2 yo)=f (xo2 Yo)i+f(xo2 yo)j 其中=i+j 称为（二维）向量微分算子或 Nabla算子，Vf= i+Wj Ox y

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、梯度 设函数z=f(x, y)在平面区域D内具有一阶连续偏导数, 则对于每一点P0 (x0  y0 )D, 都可确定一个向量 f x (x0  y0 )i+f y (x0  y0 )j 这向量称为函数f(x, y)在点P0 (x0  y0 )的梯度, 记作 gradf(x0  y0 ),或者 0 0 f x y ( , ) 即 0 0 0 0 gradf x y f x y ( , ) ( , ) =  0 0 0 0 ( , ) ( , ) x y = + f x y i f x y j 其中 i j x y    = +   称为（二维）向量微分算子或 Nabla算子， f f f i j x y    = +  