《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）函数展开成幂级数

山东农业大发 本堂 第四节函数展开成幂级数 一、 泰勒级数 二、函数展开成幂级数

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第四节函数展开成幂级数 一、泰勒级数 二、函数展开成幂级数

一、泰勒(Taylor)级数 若函数f(x)在xo的某邻域内具有n+1阶导数，则在 该邻域内有： f(x)=f(xo)+f(o)x-xo)+I"(xo(x-xo) 21 ++fm(x-”+R,( 此式称为f(x)的n阶泰勒公式，其中 R(x)= 0（D(x-0)1(在x与为之间) (n+1)川 称为拉格朗日余项

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 f (x) = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x −  n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) ++ − R (x) + n 其中 Rn (x) = (  在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + n n x x n f  若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 该邻域内有 :

山东农业大 等数 主讲 苏本堂 若函数f(x)在xo的某邻域内具有任意阶导数，则称 f(x)+f(oXx-30)+"(x-x) 2川 ++fm()(x-”+. 为f(x)的泰勒级数. 当x=0时，泰勒级数又称为麦克劳林级数 待解决的问题： 1)对此级数，它的收敛域是什么？ 2)在收敛域上，和函数是否为f(x)?

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) + 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x −  ++ − n + n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) 为f (x) 的泰勒级数. 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 1) 对此级数, 它的收敛域是什么？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为f (x) ? 待解决的问题: 若函数 的某邻域内具有任意阶导数

定理1.设函数f(x)在点x的某一邻域U(xo)内具有 各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是f(x)的泰勒公式中的余项满足：lim Rn(x)=O. 正明：e=Y-Y.e n->o0 60-5r ‖令§ f(x)=S,(x)+R(x) lim R (x)=lim[f(x)-S+(x)]=0,xeU(xo) n-→o n→0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理1 . 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: lim ( ) = 0. → R x n n 证明: ( ) , ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) n n n x x n f x f x =  −  = 令 ( ) ( ) ( ) 1 f x S x R x = n+ + n = → lim R (x) n n lim ( ) ( ) 1 f x S x n n + → − = 0 , ( ) 0 x x k n k k n x x k f x S x ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 1 =  − = + ( ) 0 x x 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有

山东农业 定理2.若f(x)能展成x的幂级数，则这种展开式是 唯一的，且与它的麦克劳林级数相同 证：设f(x)所展成的幂级数为 f(x)=a0+4x+a2x2+.+anx”+.,x∈(-R,R) 则 a0=f(0) f'(x)=a1+2a2x+.+napx"-1+. a1=f'(0) f"(x)=2a2+.+n(n-1)anx”-2+.;a2=2if"(0) fm(x)=nlan+.; an=mf(O) 显然结论成立

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则 ( ) 2 ; 1 f  x = a1 + a2 x ++ nan x n− + (0) 1 a = f  ( ) 2! ( 1) ; 2 f  x = a2 ++ n n − an x n− + (0) 2! 1 2 a = f  ( ) ! ; f (n) x = n an + (0) ( ) ! 1 n n n a = f 显然结论成立. (0) 0 a = f

二、函数展开成幂级数 直接展开法一 利用泰勒公式 展开方法 间接展开法一利用已知其级数展开式 的函数展开 1.直接展开法 由泰勒级数理论可知，函数f(x)展开成幂级数的步 骤如下： 第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值； 第二步写出麦克劳林级数，并求出其收敛半径R; 第三步判别在收敛区间（一R,R)内lim R(x)是否为 0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 函数 f (x)展开成幂级数的步 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim R (x) n n→ 是否为 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 0. 的函数展开

山东农业大 等数 主讲 例1.将函数f(x)=ex展开成x的幂级数 解：fm(x)=e,∫nm(0)=1(n=0,l,故得级数 1+x+ 3+.+ n! 其收敛半径为 R=lim =+00 n-onl (n+1)川 对任何有限数x,其余项满足 n+1 n→o (n+1)! (5在0与x之间)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) , (n) x  f x = e (0) 1 ( 0,1, ), f (n) = n =  1 其收敛半径为 对任何有限数x , 其余项满足  e (n +1)! n+1 x x  e 故 , ! 1 3! 1 2! 1 1 x = + + 2 + 3 ++ x n + n e x x x → = n R lim ! 1 n ( 1)! 1 n + n →  ( 在0与x 之间) + x 2 2! 1 + x 3 3! 1 + x ++ x n + n! 1 故得级数

例2.将f(x)=sinx展开成x的幂级数 解：fm(x)=sin(x+n) ro0-9 n=2k (k=0,1,2,.) ,n=2k+1 得级数r-分x2x5-+(-12x2m+. 其收敛半径为R=+0,对任何有限数x,其余项满足 R(x)= sin(ξ+(n+l)) n→0， 0 (n+1)！ (n+1)！ sinx=(-1n 2n-2n-+ X∈(-0，+0)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 将 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) = ( ) f x n      (0) = (n) f 得级数: x 其收敛半径为 R = +, 对任何有限数x , 其余项满足 sin( ( 1) ) 2   + n + (n +1)! n+1 x n = 2k +1 (k = 0,1, 2, ) 3 3! 1 − x + −+ 5 5! 1 x (−1) n−1 (2n 1 −1)! x 2n−1 +  sin x n →  n = 2k ( 1) , k − 0 , = x − 3 1 ! x 3 + 5 1 ! x 5 −+ (−1) n−1 (2n 1 −1)! x 2n−1 +

Sinx=x- 13 x +-+(-12a x2n-1+. 3 (2n-1)！ x∈(-00，+0) 类似可推出： COsx=12手x4二+=)了 211 (2n) x∈（-00，+00)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 = − + −+ − n− x n + n x x x 2 4 1 2 (2 )! 1 ( 1) 4! 1 2! 1 cos 1 类似可推出:  + − = − + − + − 3 5 −1 2 −1 (2 1)! 1 ( 1) 5! 1 3! 1 sin n n x n x x x x

例3.将函数f(x)=(I+x)”展开成x的幂级数，其中m 为任意常数 解：易求出f(0)=1,f'(0)=m,"(0)=m(m-1), fm)(0)=m(m-1)(m-2).(m-n+1),. 于是得级数 1+mr+ mm-x2+. 21 +mm-1)-.m-n+1Dx”+ n! 由于 :R=lim an=lim n+l =1 n-→oo an+l n-→om-n 因此对任意常数m,级数在开区间（一1,1）内收敛

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3. 将函数 展开成 x 的幂级数, 其中m 为任意常数 . 解: 易求出 f (0) =1, f (0) = m, f (0) = m(m −1) , f (n) (0) = m(m −1)(m − 2)(m − n +1) ,  于是得 级数 1+ mx + + − 2 2! ( 1) x m m 由于 1 lim → + = n n n a a R m n n n − + = → 1 lim =1   + − − + + n x n m m m n ! ( 1) ( 1) 因此对任意常数 m, 级数在开区间(－1, 1) 内收敛