《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）对坐标的曲线积分

东液 第二节对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、对坐标的曲线积分的计算 三、两类曲线积分之间的联系

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第二节对坐标的曲线积分 一、对坐标的曲线积分的概念与性质 二、对坐标的曲线积分的计算 三、两类曲线积分之间的联系

对坐标的曲线积分的概念与性质 引例：变力沿曲线所作的功 L:A→B, F(x,y)=P(x,y)i+e(x,y)j 常力所作的功W=F.AB. A x 分割A=M,M(x1,y,Mn-(xm1yn1Mn=B. M:-1M;=(△x)i+(Ay)j. 近似取F(5,1)=P(5,7)i+Q(5,n)j, F() B M △W,≈F(5,n:)M-1M, M.△ 即△W:≈P(5,:)△x,+(5,n:)Ay:

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 引例: 变力沿曲线所作的功 L: A → B, F x y P x y i Q x y j   ( , ) = ( , ) + ( , ) 常力所作的功 o x y A B L M1 M2 Mi−1 MiMn−1 xi i y 分割 , ( , ), , ( , ), . A = M0 M1 x1 y1  M n−1 x n−1 yn−1 M n = B ( ) ( ) . 1 M M x i y j i i i i   − =  +  W = F  AB. 近似 F( , ) P( , )i Q( , ) j, i i i i i i   取   =   +   ( , ) , Wi F i i Mi−1Mi      ( , ) ( , ) . i i i i i i i 即 W  P   x + Q   y o x y A B L Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) F  i i xi i y

近似取F(5,:)=P(5,:)i+Q(5,n)j, F(5,n) △W,≈F(5,n:)·M-1M, /MA 即△W,≈P(5,7:)△x:+(5,n:)Ay 求和W=之A形 近似值 i=1 ≈∑IP(5,n,)△x,+2(5,n,)△y,. 取极限W=m∑IP(5,)△x,+2(5,)Ay 精确值

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 F( , ) P( , )i Q( , ) j, i i i i i i   取   =   +   ( , ) , Wi F i i Mi−1Mi      o x y A B L Mn−1 Mi Mi−1 M2 M1 ( , ) F  i i xi i y ( , ) ( , ) . i i i i i i i 即 W  P   x + Q   y 求和 = =  n i W Wi 1 [ ( , ) ( , ) ]. 1 =    +   n i i i i i i i P   x Q   y 近似值 取极限 lim [ ( , ) ( , ) ]. 1 0 = → =   +   n i i i i i i i W P   x Q   y  精确值 近似

1.对坐标的曲线积分的定义 设函数P(x,)、Q(x,y)在有向光滑曲线弧L上有界。 把L分成n个有向小弧段L1,L2,·,Lm其中L,是从(，y-) 到(，y)的小弧段，记△x=x-xI,△y=y,-y-在小弧段L,上 任取一点(5，).令为各小弧段长度的最大值.如果极限 1im∑P5,n)Ax 元0白 总存在，则称此极限为函数P(x,y)在有向曲线弧L上对坐 标的曲线积分，记作∫P(x,y) 如果极限im∑Q5,)△总存在，则称此极限为函数 Q(x,)在有向弧L上对坐标的曲线积分，记作∫0(x,)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 1.对坐标的曲线积分的定义 设函数P(x y)、Q(x y)在有向光滑曲线弧L上有界 把L分成n个有向小弧段L1  L2     Ln  其中Li是从(xi−1  yi−1 ) 到(xi  yi )的小弧段 记xi=xi−xi−1  yi=yi−yi−1  在小弧段Li上 任取一点(i  ) 令为各小弧段长度的最大值如果极限 总存在 则称此极限为函数P(x y)在有向曲线弧L上对坐 标 x的曲线积分 记作 i i i n i P x → = lim  ( , ) 1 0    L P(x, y)dx L Q(x, y)dy i i i n i Q y → = lim  ( , ) 1 0    如果极限 Q(x y)在有向弧L上对坐标y的曲线积分 记作 总存在 则称此极限为函数

对坐标的曲线积分 h=2PA,1exw=2a,m 2→0≥1 在积分中P(x,y)、Q(x,y)叫做被积函数，L叫做积分弧段 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分， 推广设厂为空间内一条光滑有向曲线弧，函数P(x,y,)、 Q(x,y,)、R(x,y,z)在T上有定义.我们定义 ∫Px,yz)d=m∑P5,n,6)Ax, 0xy,a=lm205n:5)4y, 1→01 R(xy,adk=m∑R5n,5)A 元→0=1

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 对坐标的曲线积分 i i i n i L P x y dx = P x → =  ( , ) lim  ( , ) 1 0     i i i n i L Q x y dy = Q y → =  ( , ) lim  ( , ) 1 0     在积分中P(x y)、Q(x y)叫做被积函数 L叫做积分弧段 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分 i i i i n i L Q x y z dy = Q y → =  ( , , ) lim  ( , , ) 1 0      推广 设为空间内一条光滑有向曲线弧 函数P(x y z)、 Q(x y z)、R(x y z)在上有定义 我们定义 i i i i n i L P x y z dx = P x → =  ( , , ) lim  ( , , ) 1 0      i i i i n i L R x y z dz = R z → =  ( , , ) lim  ( , , ) 1 0     

简写形式 在应用上经常出现的是 P(x.d+dv 上式可记为 ∫Px,ya+0(xy,或Fx,)dr, 其中Fx,y)=P(x,y)i+Q(x,yj,dr=dxi+dyj 类似地，有 SPdx+[Ody+[Rd=Pdx+Qdy+Rd=A-dr, A=P(x,y,2)itO(x,y,2)i+R(x,y,2)k,dr=dxi+dyj+dzk

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 简写形式 在应用上经常出现的是   + L L P(x, y)dx Q(x, y)dy  上式可记为 P x y dx Q x y dy L ( , ) + ( , )   或   L F(x, y) dr  其中F(x y)=P(x y)i+Q(x y)j dr=dxi+dyj 类似地 有 其中A=P(x y z)i+Q(x y z)j+R(x y z)k dr=dxi+dyj+dzk Pdx Qdy Rdz       + + = Pdx+Qdy+Rdz   A dr L =   

2.对坐标的曲线积分的性质 性质1设a、B为常数，则 ∫LaEx,)+BEx川d=aFx吵-di+FEx,dr. 性质2若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧L,和L2 则 ∫F(x,y吵t=jF(x,yydr+∫.Fx,ydr. 性质3设L是有向光滑曲线弧，L是L的反向曲线弧，则 Fx以r=JFx,yd. 说明： ·对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向！ ·定积分是第二类曲线积分的特例

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2. 对坐标的曲线积分的性质 性质1设、为常数 则    +  =  +  L L L [ F (x, y) F (x, y)] dr F (x, y) dr F (x, y) dr  1  2  1  2  性质2 若有向曲线弧L可分成两段光滑的有向曲线弧L1和L2  性质3 设L是有向光滑曲线弧 L −是L的反向曲线弧则    =−  − L L F(x, y) dr F(x, y) dr      =  +  1 2 ( , ) ( , ) ( , ) L L L 则 F x y dr F x y dr F x y dr  • 定积分是第二类曲线积分的特例. 说明: • 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !

二、对坐标的曲线积分的计算法 定理：设P(x,y),Q(x,y)在有向光滑弧L上有定义且 连线L的参数方程为心-891“→则由线积分 存在，且有 ∫P(ex,dr+Q(x,ydy ={P[p(),w(]o'()+Q[(0),yr()dt 证明：下面先证 ∫，P(,yix=∫P[o(④，w(p'(o)d

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、对坐标的曲线积分的计算法 定理: 在有向光滑弧L 上有定义且 L 的参数方程为    = = ( ) ( ) y t x t   t : → , 则曲线积分   =   P[ (t), (t)](t)+ Q[ (t), (t)](t)d t 连续, 证明: 下面先证 P[ (t), (t)] dt  =     (t) 存在, 且有

根据定义∫P(x,ir=im∑P(5,)Ax 2>01 设分点x;对应参数t,点(5：，)对应参数t;,由于 △x=X-X-1=p(t)-0(G-1)=p'(t)△t .JP(x,ydr=Iim∑P[o(c),w(z,】o'(x)△t 元0-1 因为L为光滑弧，所以p()连续 2 =lim∑P[p(x),w(t】p'(i)△； 元→01 =∫P[o(t),w(t]o'(i)d 同理可证Q(x,y=Q[(0),]y')d1

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 设分点 对应参数 根据定义 i x , i t , i  由于  i = i − i−1 x x x ( ) ( ) = i − i−1  t  t i i =()t P[ (t), (t)] dt  =      → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )]  i i ()t  → = = n i P i i 1 0 lim [ ( ), ( )]  i i ( )t (t)  → = =  n i i i i P x 1 0 lim ( , )  对应参数 因为L 为光滑弧 , 同理可证 Q[ (t), (t)] d t  =     (t)

1 特别是，如果L的方程为y=y(x),x:a→b,则 JP(x,y)dx+(,)dy =[[P[x.w(x)+Q[x.w(x)w(x)dx 「x=中(t) 对空间光滑曲线弧：y=w()t:a→B,类似有 z=0(t) JP(x.y.zXlx+O(x.y.z)dy+R(x.y.z)dz =J"iPIp().v().o(lp()+Qlp().v(.o(lv() +Ro(t),v(t),o(t)]@'(t)dt

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 特别是, 如果 L 的方程为 y = (x), x : a → b, 则 P x x Q x x  x b a [ , ( )] [ , ( )] d  =  +  (x) 对空间光滑曲线弧 : : , 类似有 ( ) ( ) ( )      → = = = t z t y t x t {P[(t),(t),(t)] (t) Q[(t),(t),(t)] (t)   =  +   +R[(t),(t),(t)](t)}dt 