《高等数学》课程教学资源（PPT课件，下册）空间直线及其方程

山 §8.4空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 §8.4 空间直线及其方程 四、直线与平面的夹角

一、 空间直线方程 1.一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程 A1x+B1y+C12+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0 (不唯一)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、空间直线方程 x y z o 0 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 1 2 L 因此其一般式方程 1. 一般式方程 直线可视为两平面交线， (不唯一)

山东农少 主讲 本 2.对称式方程 已知直线上一点M0(xo,y0,0)和它的方向向量 s=(m,n,p),设直线上的动点为M(x,y,z) S 则 MoM∥s M(x,y,) 故有 x-x0_y-y0-2-20 m n p Mo(x0,y0,20） 此式称为直线的对称式方程（也称为点向式方程） 说明：某些分母为零时，其分子也理解为零 例如，当m=n=0,p≠0时，直线方程为 x=x0 y=yo

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z 2. 对称式方程 故有 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. m x x − 0    = = 0 0 y y x x 设直线上的动点为 则 M (x, y,z) n y y − 0 = p z z − 0 = 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 直线方程为 s 已知直线上一点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z M (x, y,z) 例如, 当 m = n = 0, p  0 时, 和它的方向向量

东液风 3.参数式方程 设 x-0=y-0=3-0=i m n p 得参数式方程： x=x0+mt y=yo+nt Z=Z0+pt

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 3. 参数式方程 设 得参数式方程: t p z z n y y m x x = − = − = − 0 0 0 x = x + mt 0 y = y + nt 0 z = z + p t 0

山东农业大 例1求经过M1(x1,1,Z),M2(x2,y2,2) 两点的直线方程 解 因为直线过M1,M2两点 因此可取MM2作为直线的方向向量 5=M1M2={x2-X1,Jy2-Jy1,2-1} 由点向式即得所求直线的方程为 x-1=y-y=z-1 X2-X1y2-J1Z2-Z1 直线的两点式方程

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1 求经过 ( , , ), ( , , ) 1 1 1 1 2 2 2 2 M x y z M x y z 两点的直线方程 解 因为直线过 1 2 M ,M 两点 因此可取 M1M2 作为直线的方向向量 M1M2 s =    2 1 2 1 2 1 = x − x , y − y ,z − z 由点向式即得所求直线的方程为 2 1 1 2 1 1 2 1 1 z z z z y y y y x x x x − − = − − = − − ——直线的两点式方程

例2.用对称式及参数式表示直线 x+y+2+1=0 2x-y+3z+4=0 解：先在直线上找一点 令x=1,解方程组 y+2=-2,得y=0,=-2 y-3z=6 故(1,0，-2)是直线上一点 再求直线的方向向量3 交已知直线的两平面的法向量为 n=1,1,10,2=(2,-1,3) s1i,s1m2.s=m1×2

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2.用对称式及参数式表示直线 解: 先在直线上找一点. 3 6 2 − = + = − y z y z 再求直线的方向向量 令 x = 1, 解方程组 ,得 y = 0, z = −2 交已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点. s . 1 2  s ⊥ n ,s ⊥ n 1 2  s = n  n

山东农业大 等数 主进 方本 S=n1×n2 = 111 =(4,-1,-3) 2-13 故所给直线的对称式方程为 x-1y z+2 4-1 -3 x=1+4i 参数式方程为 y=-t z=-2-3t 解题思路：先找直线上一点； 再找直线的方向向量

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 = t 4 x −1 −1 = y 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. = (4,−1,− 3) 1 2 s = n  n 2 1 3 1 1 1 − = i j k

东液 解二 用两点式 已求出一点(1,0，-2) 再求出一点 「x+z=0 令y=-1得 2x+3z=-5 解得x=5,z=-5 点坐标5，-1，-5)， 所求直线方程为 x-1_y-0z+2 4 -1 -3 x=1+4t 参数方程 了y=-t 7=-2-3t >I

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 解二 用两点式 已求出一点 (1,0,−2) 再求出一点 令 y = −1 得 x + z = 0 2x + 3z = −5 解得 x = 5,z = −5 点坐标 (5,−1,−5), 所求直线方程为 , 3 2 1 0 4 1 − + = − − = x − y z 参数方程 . 2 3 1 4      = − − = − = + z t y t x t

1东农大 主 例3一直线过点A(2,-3,4),且和y轴垂直相 交，求其方程. 解 因为直线和y轴垂直相交， 所以交点为B(0,-3,0), 取=BA={2,0,4}, 所求直线方程七-2=y+3 7-4 2 0 由以上几例可见，求直线方程的思路、步骤： 两定—定点、定向

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例 3 一直线过点A(2,−3,4)，且和 y轴垂直相 交，求其方程. 解 因为直线和 y 轴垂直相交, 所以交点为 B(0,−3, 0), 取 s = BA  = {2, 0, 4}, 所求直线方程 . 4 4 0 3 2 2 − = + = x − y z 由以上几例可见，求直线方程的思路、步骤： 两定——定点、定向

二、线面间的位置关系 1.两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角（通常取锐角） 设直线L,L,的方向向量分别为 Si=(0m1,h1,p1),S2=(m2,n2,p2) 则两直线夹角0满足 S2 对·2 C0S0= 552 mim2 +nn2 +pip2 m2+m2+p2m+P2 2

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 L2 L1  二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角 则两直线夹角 满足 1 2 设直线 L , L = 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角) 的方向向量分别为 1 2 1 2 1 2 m m + n n + p p 2 1 2 1 2 1 m + n + p 2 2 2 2 2 2 m + n + p 1 2 1 2 cos s s s  s  = 1 s 2 s