《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）反常积分

第四节 反常积分 、无穷限的反常积 分 二、无界函数的反常积分

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第四节 反常积分 一、无穷限的反常积 分 二、无界函数的反常积分

主计 苏本堂 积分限有限 常义积分 被积函数有界 解决许多实际问题要求我们将函数x)从有限区间 推广到无限区间，将有界函数推广到无界函数.从而得到 两种反常积分（也称广义积分）】

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 常义积分 积分限有限 被积函数有界 解决许多实际问题要求我们将函数f(x)从有限区间 推广到无限区间,将有界函数推广到无界函数.从而得到 两种反常积分(也称广义积分)

一、无穷限的反常积分 1 引例.曲线y=2 和直线x=1及x轴所围成的开口曲 边梯形的面积可记作 A- r+co dx 其含义可理解为 01 g=lim

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、无穷限的反常积分 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 可记作  + = 1 2 d x x A 其含义可理解为  →+ = b b x x A 1 2 d lim b b x 1 1 lim       = − →+       = − b→+ b 1 lim 1 =1 1 b y o x

方本 定义1.设f(x)∈C[a,+o),取b>a,若 nd 存在，则称此极限为f(x)的无穷限反常积分，记作 in d 这时称反常积分∫f(x)dx收敛；如果上述极限不存在， 就称反常积分∫f(x)dr发散 类似地，若f(x)∈C(-0,b],则定义 ∫fcx)dr=,limd

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定义1.设 f (x)C[a, + ), 取b  a, 若 存在 , 则称此极限为f (x) 的无穷限反常积分, 记作 这时称反常积分 收敛 ; 如果上述极限不存在, 就称反常积分 发散 . 类似地 , 若 f (x)C(−, b], 则定义

若f(x)∈C(-0,+0),则定义 dimimd (c为任意取定的常数) 只要有一个极限不存在，就称f()d发散. 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分 说明：上述定义中若出现0一0，并非不定型， 它表明该反常积分发散

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 若 f (x)C(−, + ), 则定义 f x x c a a lim ( )d  →− f x x b b c lim ( )d  →+ + ( c 为任意取定的常数 ) 只要有一个极限不存在 , 就称 发散 . 无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 说明: 上述定义中若出现  −  , 并非不定型 , 它表明该反常积分发散

若F(x)是f(x)的原函数，引入记号 F(+co)=lim F(x);F(-oo)=lim F(x) x→+00 x-→-00 则有类似牛-莱公式的计算表达式： (=F()()-F(a) Jdk-re2=b)-fF F()))

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 引入记号 F( ) lim F(x) ; x→+ + = F( ) lim F(x) x→− − = 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : f x x a ( )d  + = F(x) = F(+) − F(a) f x x b ( )d − = F(x) = F(b) − F(−) f (x)dx  + − = F(x) = F(+) − F(−)

侧1计深反常积分 dx 解，5aan y-1+x2 a b x 思考：广0对吗？ 分标广-n0-2 原积分发散！ 注意：对反常积分，只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零”的性质否则会出现错误

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 计算反常积分 解: + − = [arctan x] ) 2 (  − − 2  = = 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零”的性质否则会出现错误 ,

等数 苏本堂 例2.讨论反常积分 的敛散性 解：当p=1时有 =[lnx刘]=+o 当p≠1时有 [”- +0, p1 al-p 因此，当p>1时，反常积分收敛，其值为 p-1 当p≤1时，反常积分发散

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2. 讨论反常积分 解:当 p =1 时有   + = a ln x = + − +    −  = a p p x 1 1 当 p ≠ 1 时有 p 1 , p 1 1 1 − − p a p 的敛散性. +  , 因此, 当 p >1 时, 反常积分收敛, 其值为 ; 1 1 − − p a p 当 p≤1 时, 反常积分发散

例3.计算反常积分。tep'dt(p>0) +00 \0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3. 计算反常积分 解: pt e p t − 原式 = −  + − + 0 d 1 e t p pt pt e p − = − 2 1 2 1 p =

主进 本堂 二、无界函数的反常积分 引例：曲线y= 与x轴，y轴和直线x=1所围成的 开口曲边梯形的面积可记作 4- 其含义可理解为 4m2} =lim2(1-Wg)=2 8→01

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、无界函数的反常积分 引例:曲线 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的 开口曲边梯形的面积可记作 其含义可理解为 +  → = 1 0 d lim   x x A   1 lim 2 0 x → + = lim 2(1 ) 0   = − → + = 2  1 y o x