《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）曲率

第七节曲率 弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第七节曲率 一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径

方本堂 一、弧微分 曲线的基点与正向 M 设函数x)在区间(a,b)内具有 M 连续导数.在曲线y=x)上取固定点 S>0 M,(x,)作为度量弧长的基点，并 Xo 规定依x增大的方向作为曲线的正向. 有向弧段MOM的值 对曲线上任一点Mx,y), 规定有向弧段M的值s(简称 M 弧)如下：s的绝对值等于这弧段 Mo 的长度，当有向弧段的方向与曲 S0,相反时<0：

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 •曲线的基点与正向 设函数f(x)在区间(a b)内具有 连续导数 在曲线y=f(x)上取固定点 M0 (x0  y0 )作为度量弧长的基点 并 规定依 x 增大的方向作为曲线的正向 一、弧微分 有向弧段M0M 的值 ( 弧)如下 s 的绝对值等于这弧段 的长度 当有向弧段的方向与曲 线的正向一致时s>0 相反时s0

弧微分公式 设x,+△x为(a,b)内两个邻近的点，它们在曲线=孔x) 上的对应点为M,W,并设对应于x的增量△x,弧s的增量 为△s.因为当△x→0时，△s~MN,又△x与As同号，所以 4 =lim dx -lim △x0△X x-0 I△x| 由此得弧微分公式： ds=+y'2dx. 或者 Mo M △S △x ds =/(dx)2+(dy)2 XO x+△x

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 上的对应点为M N 并设对应于x的增量Dx 弧 s 的增量 为Ds. 因为当Dx→0时 Ds ~ MN 又Dx与Ds同号 所以 由此得弧微分公式: 2 0 2 2 0 0 lim 1 ( ) | | ( ) ( ) lim lim x y x x y x s dx ds x x x D D = + D D + D = D D = D → D → D → 1 2 = + y   ds y dx 1 2 = +   2 0 2 2 0 0 lim 1 ( ) | | ( ) ( ) lim lim x y x x y x s dx ds x x x D D = + D D + D = D D = D → D → D → 2 0 2 2 0 0 lim 1 ( ) | | ( ) ( ) lim lim x y x x y x s dx ds x x x D D = + D D + D = D D = D → D → D → 或者 2 2 ds = (dx) + (dy) 弧微分公式 设x x+Dx为(a b)内两个邻近的点 它们在曲线y=f(x)

山东农业大 主进 方本堂 二、曲率及其计算公式 1、曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度) 的量 M 弯曲程度越大转角越大： 转角相同弧段短的弯曲大 问题：怎样刻画曲线的弯曲程度？ 提示：可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表 达弧段的平均弯曲程度

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量． M M DS1 DS2 N N D 弯曲程度越大转角越大 转角相同弧段短的弯曲大 1、曲率的定义 M1 M3 D2 M2 DS2 DS1 D1 二、曲率及其计算公式 问题: 怎样刻画曲线的弯曲程度？ 提示： 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表 达弧段的平均弯曲程度

二、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点M开始取弧段，其长为△s,对应切线 转角为△，定义 弧段△s上的平均曲率 K- △ Mo M △s a a+△a 点M处的曲率 K=lim △0 △5→0 △S ds 注：直线上任意点处的曲率为0！

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长为 Ds , 对应切线 D , 定义 弧段 Ds 上的平均曲率 s K D D =  点 M 处的曲率 s K s D D = D →  0 lim ds d = 注: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 转角为

例1.求半径为R的圆上任意点处的曲率 解：如图所示， △s=R△ ∴.K=lim △S→0 △S R 可见：R愈小，则K愈大，圆弧弯曲得愈厉害； R愈大，则K愈小，圆弧弯曲得愈小

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解: 如图所示 , Ds = RD s K s D D  = D →  0 lim R 1 = 可见: R 愈小, 则K 愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大, 则K 愈小 , 圆弧弯曲得愈小 . D Ds R M M D

曲率K的计算公式 da K= 设曲线弧y=f(x)二阶可导，则由 ds ama=y(设-7<a<7 得 a arctan y' ik-6你ndr 又 ds =+y'2 dx 故曲率计算公式为K= (1+y2)3 当y<I时，有曲率近似计算公式K≈y

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 当 y  1时, 有曲率近似计算公式 tan = y  ) 2 2 (    设 −   得  = arctan y  d = (arctan y )dx 故曲率计算公式为 s K d d = 2 3 (1 ) 2 y y K +   = K  y  又 曲率K 的计算公式 设曲线弧 y = f (x) 二阶可导, 则由

主讲 本 注：参数方程下曲率的计算 K=_ 设术=， 1 阶可导， (1+y2)3 (y=w(t), 4=) dy=p'w"-p()w'四 p'(t)1 p3()） .k=9'w"0-p"(u)y'0 [p2(t)+y2(t)2

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 , ( ), ( ), 设 二阶可导    = = y t x t   . [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 t t t t t t k        +    −    = , ( ) ( ) t t dx dy      = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t t t t t dx d y         −   = 注:参数方程下曲率的计算 2 3 (1 ) 2 y y K +   =

例2计算等边双曲线y=1在 点(1,1)处的曲率 K- (1+y2)3 解 2,2 因此y儿1=-1，y"==2.曲线在点(1,1)处的曲率为 2 =1-2 0+y2)21+(-02)2=2=2

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例2 计算等边双曲线xy=1在 点(1, 1)处的曲率. 因此y| x=1=−1 y| x=1=2 曲线在点(1 1)处的曲率为 解 由 x y 1 =  得 2 1 x y  =−  3 2 x y  =  2 3 2 (1 ) | | y y K +   = 2 3 2 (1 ( 1) ) 2 + − = 2 2 2 1 = =  解 2 1 x y  =−  3 2 x y  =  2 3 2 (1 ) | | y y K +   = 2 3 2 (1 ( 1) ) 2 + − = 2 2 2 1 = =  2 3 2 (1 ) | | y y K +   = 2 3 2 (1 ( 1) ) 2 + − = 2 2 2 1 = =  2 3 (1 ) 2 y y K +   =

主 方本堂 例3抛物线y=ax2+bx+c上 y” 哪一点处的曲率最大？ K- (1+y2)芳 解由y=ax2+bx+C,得 y'=2ax+b,y'=2a, 代入曲率公式，得 |2a K- [1+(2ax+b)2]3/2 显然，当2ax+b=0时曲率最大. 曲率最大时，一b,对应的点为抛物线的顶点 2a 因此，抛物线在顶点处的曲率最大，此处K=2小

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3 抛物线y=ax2+bx+c上 哪一点处的曲率最大？ 解 由y=ax2+bx+c 得 y=2ax+b y=2a 代入曲率公式 得 显然 当2ax+b=0时曲率最大 因此 抛物线在顶点处的曲率最大 此处K=|2a| 2 3 2 [1 (2 ) ] |2 | ax b a K + + =  曲率最大时 x=− a b 2  对应的点为抛物线的顶点 2 3 (1 ) 2 y y K +   =