《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）无穷小的比较

第七节无穷小的比较 一、无穷小阶的比较 二、等价代换

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第七节无穷小的比较 一 、无穷小阶的比较 二、等价代换

等数 第七节无穷小的比较 x→0时，x,x2,sinx,x2sin1都是无穷小 当 x2 观察各极 lim x-→03x x比3x要快得多； sin x lim sinx和x大致相同； x→0 x x2 sin 型) lim 0 龙=lim sin- 不存在.不可比 x→0 x→0 极限不同，反映了趋向于零的“快慢”程度不 同

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不 同. x x x 3 lim 2 →0 x x x sin lim →0 观 察 各 极 限 2 2 0 1 sin lim x x x x→ x x 1 lim sin →0 （ 型） = 0 0 不存在. 不可比. 第七节 无穷小的比较 . 1 0 , , ,sin , sin 当 时 2 2 都是无穷小 x x → x x x x x 2比3x要快得多; sinx和x大致相同;

定义.设，B是自变量同一变化过程中的无穷小， 若1imB=0,则称B是比&高阶的无穷小，记作 B=o(a) 若lim =0,则称B是比a低阶的无穷小 若lim =C≠0，则称B是a的同阶无穷小 若lim B =C≠0，则称B是关于的k阶无穷小； 若lim B =1,则称B是a的等价无穷小，记作0~B 或B~

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 lim = C  0, k   定义. lim = 0,  若  则称  是比  高阶的无穷小,  = o() lim = ,   若 若 若 lim =1,   若  ~  ~  lim = C  0,   或 设  ,  是自变量同一变化过程中的无穷小, 记作 则称  是比  低阶的无穷小; 则称  是  的同阶无穷小; 则称  是关于  的 k 阶无穷小; 则称  是  的等价无穷小, 记作

等数学 方本 例如，当x→0时 x3=0(6x2);sinxx;t nxx arcsinxx 又如， 1-cosx =lim- 2sin2 lim x-→0 x2 x→0 4() 2 故x→0时1-cosx是关于x的二阶无穷小，且 1-c0sx~2x2

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例如 , 当 = o( ) ～ x → 0 时 3 x 2 6x ; sin x x ; tan x ～ x arcsin x ～ x 2 0 1 cos lim x x x − → 2 2 0 2sin lim x x→ = 又如 ， 2 2 4( ) x 2 1 = 故 时 是关于 x 的二阶无穷小, 1− cos x 2 2 1 ～ x 且

东液网 例1.证明：当x→0时，/1+x-1-x 证：1im1+x-1 x→0 x a”-b”=(a-b)(a”-+a”-2b+.+b"-l lim (1+x”-1 0hx[(1+xy”-1+(1+x”-2++1] =1 当x→0时，1+x-1心1x n

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 证明: 当 时, ～ 证: ～ − = n n a b (a −b) 1 ( n− a a b n−2 + ) −1 + + n  b

主讲 苏本堂 定理1.~B=B=a&+o(Q) 证：u心B二lim 一lim(E-1)=0,即limB-=0 =B-0=o(0),即B=a+o(a) 例如，x→0时，sinx~x,tanx~x,故 x→0时，sinx=x+o(x),tanx=x+o(x)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 ～ ～ 定理1.  = + o() 证: lim =1   lim( −1) = 0,   lim = 0 −    即  − = o(), 即  = + o() 例如, x → 0 时, ～ tan x ～ x, 故 x → 0 时, tan x = x + o(x)

理2.设a~d,B~f,且m ，存在，则 B lim =lim B 证： lim lim B a lim lim lim 例如， tan 2x lim =lim 2x=2 x-→0sin5x -→05

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 定理2 . 设 且 存在 , 则   lim 证:   lim        =   lim          = lim     lim   lim     = lim 例如, x x x sin 5 tan 2 lim →0 x x x 5 2 lim →0 = 5 2 =

山东农业大发 等数学 主讲 本堂 利用等价代换可简化某些极限的运算， 例2.求1im1+x2)3-1 i例3.求lim tan x-sinx x→0 x-→0 cosx-1 解：当→0时， 解： tanx(1-cosx) 0+r-13 原式=lim x→0 c0s-1≈- 12 1 2 lim x→>0 2 3 2 ◆ 原式=1im X0 1 3 2 ◆ 原式关im \x0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 利用等价代换可简化某些极限的运算. 例2. 求 . cos 1 (1 ) 1 lim 3 1 2 0 − + − → x x x 解: 原式 例3. 求 . tan sin lim 3 0 x x x x − → 解: 原式 3 0 lim x x x x − = → 原式 3 2 2 1 0 lim x x x x  = →

山东 课堂练习 tan x-sin x 1-x2-1 2. lim 1.lim →0 sin3x x→0 sin22x tan x(1-cosx) 解： 原式=lim ) 2 原式=lim x→0 sin'x x→0 (2x)2 ◆ 1 8 lim x→0 1 2

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 课堂练习 2 2 0 1 1 1. lim x sin 2 x → x − − 解：原式 2 2 0 1 ( ) 2 lim (2 ) x x → x − = 1 8 = − 3 0 tan sin 2. lim x sin x x → x − 3 0 tan (1 cos ) lim x sin x x → x − 原式 = 3 2 2 1 0 lim x x x x  = →

山东农业大 等数学 主讲 方本堂 内容小结 1.无穷小的比较 设，B对同一自变量的变化过程为无穷小，且C≠0 0 B是a的高阶无穷小 00 B是α的低阶无穷小 lim C(≠0)，B是a的同阶无穷小 1, B是α的等价无穷小 lim B =C≠0， B是a的k阶无穷小

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 内容小结   0 1. 无穷小的比较 设  ,  对同一自变量的变化过程为无穷小, 且  是  的高阶无穷小  是  的低阶无穷小  是  的同阶无穷小  是  的等价无穷小  是  的 k 阶无穷小