《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）映射与函数

山东农业大 主讲人：本堂 初等数学 研究对象：常量 初等方法：有限的方法 初等数学是用有限的方法研究常量的数学 高等数学 研究对象：变量（函数） 研究方法：极限的方法 高等数学是用极限的方法研究变量的数学

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 初等数学 研究对象：常量 初等方法：有限的方法 初等数学是用有限的方法研究常量的数学 高等数学 研究对象：变量（函数） 研究方法：极限的方法 高等数学是用极限的方法研究变量的数学 绪

一元微 一元积 分学 分学 富等 乡元微 多元积 分学 数学 分学 空间解 级数 析几何 常微分 方程

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一元微 分学 一元积 分学 多元微 分学 空间解 析几何 多元积 分学 级数 常微分 方程 高等 数学

第一章 函数与极限 第一节1 映射与函数 第二节 数列的极限 第三节 函数的极限 第四节无穷小与无穷大 第五节， 极限运算法则 第六节 极限存在准则 两个重要极限

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 第二节 数列的极限 第三节 函数的极限 第四节 无穷小与无穷大 第五节 极限运算法则 第六节 极限存在准则 两个重要极限

第七节无穷小的比较 第八节 函数的连续性与间断点 第九节连续函数的运算与初等函数的连续性 第十节闭区间上连续函数的性质

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第七节 无穷小的比较 第八节 函数的连续性与间断点 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第十节 闭区间上连续函数的性质

第一节目 映射与函数 一、 集合 二、 映射 三、函数

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第一节 映射与函数 二、 映射 三、 函数 一、 集合

一、集合 区间和邻域 设a,b∈R,且a<b, (a,b) 开区间(M,b)={x|M<x<b}oa [a,b] 闭区间[a,b]={x|a≤x≤b} (a,b] 半开区间(M,b]={x|M<x≤b} 0 a [a,b) [a,b)={x|a≤x<b} 称a,b为区间的端点，称b一a为这些区间的长度. 以上这些区间都称为有限区间

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、集合 区间和邻域 O a b [a,b] 设a,b∈R,且a<b, 开区间 (a,b) = {x | a  x  b} 闭区间 [a,b] = {x | a  x  b} 半开区间 (a,b] = {x | a  x  b} [a,b) = {x | a  x  b} 称a,b为区间的端点，称b－a为这些区间的长度. 以上这些区间都称为有限区间. (a,b) O a b ( , ] a b O a b [ , ) a b O a b

苏本堂 十∞ (读作正无穷大) 引进记号： (读作负无穷大) （读作无穷大) 无限区间 [M,+o∞)={x|x≥} (a,+o)={x|x>a} (-∞，b)={|x<b} (-∞，b]={x|x≤b} (-0,+∞)={x|x∈R} [a,+o (-0,b) 用数轴可以表示区间，区间常用表示

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 无限区间 [a,+ ) = {x | x  a} (a,+ ) = {x | x  a} (− ,+ ) = {x | x  R} (− ,b) = {x | x  b} (− ,b] = {x | x  b} 用数轴可以表示区间, 区间常用I表示. O a [a,+] 引进记号： + ∞ －∞ ∞ （读作正无穷大） (读作负无穷大） （读作无穷大） b (−,b) O

邻域 (1)设δ是任一正数，称开区间(a-δ，a+8)为点a的8邻域， 记为UU(a,δ)，即 U(a,)={x|a-6<x<a+6}={xx-ak6} 点a称为该邻域的中心，称δ为该邻域的半径. 6 6 a-δ a+δ (2)点a的去心邻域：U(a,δ)={x|0<|x-k} 点a的左δ邻域：开区间(a-δ，a) 点a的右δ邻域：开区间(a,a+δ) 注若不强调δ的大小，点a的去心邻域记为U(a)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (2) 点a的去心邻域： U(a, ) = {x | 0  | x − a |  } 。 注 若不强调δ的大小，点a的去心邻域记为 邻域 点a的左δ邻域:开区间(a-δ,a) 点a的右δ邻域:开区间(a,a+δ) (1) 设δ是任一正数，称开区间(a-δ,a+δ)为点a的δ邻域， 记为U(a,δ)，即 U(a, ) = {x | a −  x  a +  } = {x | | x − a |  } 点a称为该邻域的中心，称δ为该邻域的半径. a −  a +  x   a U(a)

映射 映射的概念 定义设X、Y是二个非空集合，如果存在一个法 则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一 确定的元素y与之对应，则称f为从到Y的映射，记为 f:X→Y, 其中称为元素x(在映射f下)的像，记作孔x),即y=x), 元素x称为元素（在映射f下）的一个原像； 集合X称为映射f的定义域，记作Df,即D=X, X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域： 记作R或几)，即 R,=f(X)={f(x)x∈X

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、映射 1、映射的概念 定义 设X、Y是二个非空集合，如果存在一个法 则f , 使得对X中每个元素x, 按法则f , 在Y中有唯一 确定的元素 y与之对应, 则称f 为从X到Y的映射,记为 f : X →Y, 其中y称为元素x(在映射 f 下)的像,记作f(x), 即y=f(x) , 元素x称为元素y(在映射f 下)的一个原像; 集合X称为映射f的定义域, 记作D f , 即D f =X; R f (X) f (x) x X. f = =  X中所有元素的像所组成的集合称为映射 f 的值域, 记作 Rf 或 f(X), 即

注意： (1)一个映射必须具备以下三个要素： 集合X,即定义域D=X 集合Y,即值域的范围：R,CY; 对应法则￡使对每个x∈X,有唯一确定的y=x) 与之对应 (2)对每个x∈X,元素x的像y是唯一的； 对每个y∈Rf,元素的原像不一定是唯一的； 映射f的值域R是的一个子集，即R,cY,不 一定R=Y

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 注意: (1) 一个映射必须具备以下三个要素: 集合X, 即定义域D f =X 集合Y, 即值域的范围: R Y; f  对应法则f, 使对每个 x  X, 有唯一确定的y=f(x) 与之对应. (2) 对每个 x X ,元素x的像y是唯一的; 对每个 y  Rf ,元素y的原像不一定是唯一的; 映射f 的值域 是Y的一个子集,即 ,不 一定 . Rf Rf  Y Rf = Y