《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)函数的微分

§2.5函数的微分 微分的概念 二、微分的几何意义 三、微分的运算法测 四、微分在近似计算中的应用
山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂 二、微分的几何意义 一、微分的概念 §2.5函数的微分 三、微分的运算法则 四、微分在近似计算中的应用

一、微分的概念 引例:一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其 边长由xo变到x,+△x,问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为x,面积为A,则A=x2,当x在x取 得增量△x时,面积的增量为 A4=(+△x)2-x2 △x x0△x (4)2 2x0Ar +(Ar) 关于△x的△x→0时为 Xo A=x 线性主部高阶无穷小 故 △A≈2xAx 称为函数在xo的微分
山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂 一、微分的概念 引例: 一块正方形金属薄片受温度变化的影响, 问此薄片面积改变了多少? 设薄片边长为x , 面积为 A , 则 , 2 A = x 0 x x 面积的增量为 x x 0 2 0 A = x x x 0 2 (x) 关于△x 的 线性主部 高阶无穷小 x →0 时为 故 称为函数在 x0 的微分 当 x 在 0 x 取 得增量 x 时, 0 x 变到 , 0 边长由 x + x 其

定义:若函数y=∫(x)在点xo的增量可表示为 △y=f(xo+△)-f(xo)=A△x+o(△x) (A为不依赖于△x的常数) 则称函数y=f(x)在点x可微,而A△x称为f(x)在 点xo的微分,记作dy或df,即 dy=A△x 定理:函数y=∫(x)在点xo可微的充要条件是 y=f(x)在点xo处可导,且A=∫'(xo),即 dy=f'(xo)△x
山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂 的微分, 定义: 若函数 在点 x0 的增量可表示为 ( A 为不依赖于△x 的常数) 则称函数 y = f (x) 而 Ax 称为 记作 即 dy = Ax 定理: 函数 在点 x0 可微的充要条件是 = Ax + o(x) 即 dy = f (x )x 0 在点 可微

定理:函数y=f(x)在点x,可微的充要条件是 y=f(x)在点o处可导,且A=∫'(xo),即 dy=f'(xo)△x 证:“必要性” 已知y=f(x)在点xo可微,则 △y=f(xo+△x)-f(xo)=A△x+o(△x) 是4+=4 △x-→0△X△x-→0 故y=(x)在点xo的可导,且∫'(xo)=A
山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂 定理 : 函数 证: “必要性” 已知 在点 可微 , 则 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x ) ( ) lim lim ( 0 0 x o x A x y x x = + → → = A 故 = Ax + o(x) 在点 的可导, 且 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0

山东农业大发 等数雪 主讲人:苏本堂 定理:函数y=∫(x)在点x可微的充要条件是 y=f(x)在点x处可导,且A=f'(xo),即 dy=f'(xo)△x “充分性”已知y=f(x)在点x的可导,则 lim △y=f'(xo) △x→0△x A=f)+a(mx=0) △ 故△y=f'(x)△x+△x=f'(xo)Ax+o(△x) 线性主部 (f'(xo)≠0时) 即dy=f'(xo)△x
山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂 定理 : 函数 在点 x0 可微的充要条件是 在点 处可导, 且 即 dy = f (x )x 0 “充分性”已知 lim ( ) 0 0 f x x y x = → = + ( ) 0 f x x y ( lim 0 ) 0 = → x y = f (x )x +x 故 0 ( ) ( ) 0 = f x x + o x 线性主部 即 dy = f (x )x 0 在点 的可导, 则

注:△y=f'(xo)△x+o(△x) dy=f'(xo)△x 当f'(xo)≠0时, lim △y=1im △y Ax->0dy △x-0f'(x0)△x △y lim =1 f(xo)Ax->0 Ax 所以△x→0时△y与dy是等价无穷小,故当△x 很小时,有近似公式 △y≈dy
山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂 注: f (x0 ) 0 时 , dy = f (x )x 0 ( ) ( ) 0 y = f x x + o x y y x d lim 0 → f x x y x = → ( ) lim 0 0 x y f x x = →0 0 lim ( ) 1 =1 所以 x → 0 时 y dy 很小时, 有近似公式 x y dy 与 是等价无穷小, 当 故当

=x)在点x可微台△=A△x+o(△x).d=f'(xo)△x· 例1求函数y=x2在x=1和=3处的微分. 解函数y=x2在x=1处的微分为 dy=(x2)Lkx=1△x=2Ax; 函数y=x2在=3处的微分为 d=(x2)儿x=3△x=6Ax. 例2求函数y=x3当x=2,△x=0.02时的微分 解先求函数在任意点x的微分, dy=(x3)'△=3x2Ax. 再求函数当x=2,Dx=0.02时的微分, dy-2,A-0.02=3x21x=2.A0.02=3×22×0.02=0.24
山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂 例1 求函数y=x 2在x=1和x=3处的微分 dy=(x 2 )|x=1x=2x 函数y=x 2在x=3处的微分为 dy=(x 2 )|x=3x=6x 例2 求函数 y=x 3当x=2 x =002时的微分 y=f(x)在点x0可微y=Ax+o(x) dy= f (x0 )x 解 函数y=x 2在x=1处的微分为 解 先求函数在任意点x的微分 dy=(x 3 )x=3x 2x 再求函数当x=2 Dx=002时的微分 dy| x=2, x=0.02 =32 2 =3x 0.02=0.24 2 | x=2, x=0.02

y=f(x) 二、微分的几何意义 当x从x变到x+△x时, +△的 △y是曲线上点的纵坐 y y='"0)4=gx 标的增量; dy是过点(xo,xo)的切 线上点的纵坐标的增量 0 gC=f6)和为+x 当△x很小时,△y-dy比△x小得多. 因此,在点M的邻近,我们可以用切线段来近似代 替曲线段, △y=Ardx称Ax为自变量的微分,记作d 则有dy=了x从而=了导数也叫作微酒
山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂 当|x|很小时 |y−dy|比|x|小得多 因此 在点M的邻近 我们可以用切线段来近似代 替曲线段 y是曲线上点的纵坐 标的增量; dy是过点(x0 f(x0 ))的切 线上点的纵坐标的增量. 当x从x0变到x0+x时 二、微分的几何意义 则有 dy = f (x)dx 从而 ( ) d d f x x y = 导数也叫作微商 称x为 自变量的微分, 记作 dx y = x = dx 记

三、微分的基本公式和运算法则 1.基本初等函数的微分公式 导数公式: 微分公式: (x4'=ux- d(xi)=ux-dx (sin x)'=cos x d(sinx)=cos xdx (cos x)'=-sinx d(cos x)=-sin xdx (tanx)'=sec2x d(tanx)=sec2xdx (cot x)'=-csc2x d(cotx)=-csc2xdx (sec x)'=secx tanx d(secx)=secx tan xdx (csc x)'=-cscx cotx d(cscx)=-cscx cot xdx (ax)'=a*In a d(ax)=ax In adx (ex)=ex d(ex)=exdx
山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂 d(x m )=m x m−1dx d(sin x)=cos xdx d(cos x)=−sin xdx d(tan x)=sec2xdx d(cot x)=−csc2xdx d(sec x)=sec x tan xdx d(csc x)=−csc x cot xdx d(a x )=a x ln adx d(e x )=e xdx (x m )=m x m−1 (sin x)=cos x (cos x)=−sin x (tan x)=sec2 x (cot x)=−csc2x (sec x)=sec x tan x (csc x)=−csc x cot x (a x )=a x ln a (e x )=e x 导数公式: 微分公式: 1.基本初等函数的微分公式 三、微分的基本公式和运算法则

导数公式: 微分公式: (lOgax)=- d(logax)=- dx na Ina (n= d(Inx)=1dx x (arcsinx)'= √-x2 d(arcsinx)x (arccosx)'=- 1 d(arccosx)=- 1 dx √1-x2 √1-x2 (arctanx)'= 1+x2 d(arctanx)=1+x (arccotx)'=- 1 1+x2 d(arecot)=-, 1+r2
山东农业大学 高等数学 主讲人:苏本堂 x a x a ln 1 (log ) = x x 1 (ln ) = 1 2 1 (arcsin ) x x − = 1 2 1 (arccos ) x x − =− 1 2 1 (arctan ) x x + = 1 2 1 (arccot ) x x + =− dx x a d x a ln 1 (log )= dx x d x 1 (ln )= dx x d x 1 2 1 (arcsin ) − = dx x d x 1 2 1 (arccos ) − =− dx x d x 1 2 1 (arctan ) + = dx x d x 1 2 1 (arccot ) + =− 导数公式: 微分公式:
按次数下载不扣除下载券;
注册用户24小时内重复下载只扣除一次;
顺序:VIP每日次数-->可用次数-->下载券;
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)微分中值定理.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)洛必达法则.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)泰勒公式.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)函数的单调性与曲线的凹凸性.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)函数的极值与最大值最小值.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)函数的图像的描绘.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)曲率.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)不定积分的概念与性质.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)换元积分法.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)分部积分法.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)有理函数的积分.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)定积分的概念与性质.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)微积分基本公式.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)定积分的换元法和分部积分法.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)反常积分.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)定积分的元素法.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)定积分在几何学上的应用.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)定积分在物理学上的应用.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)微分方程的基本概念(山东农业大学:苏本堂).ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)可分离变量的微分方程.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)隐函数和参数方程求导.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)高阶导数.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)函数的求导法则.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)导数概念.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)闭区间上连续函数的性质.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)连续函数的运算和初等函数连续性.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)函数的连续性.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)无穷小的比较.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)极限存在准则 两个重要极限.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)极限运算法则.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)无穷小和无穷大.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)函数的极限.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)数列的极限.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件,上册)映射与函数.ppt
- 《高等数学》课程教学资源(书籍教材)高数上册电子书.pdf
- 《高等数学》课程教学资源(知识拓展)数学的三大危机.doc
- 《高等数学》课程教学资源(作业习题)第九章练习题.doc
- 《高等数学》课程教学资源(作业习题)第八章练习题2.doc
- 《高等数学》课程教学资源(作业习题)第八章练习题.doc
- 《高等数学》课程教学资源(PPT课件)第八章_第八章 空间解析几何与向量代数.ppt