《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）有理函数的积分

第四节有理函数的积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第四节 有理函数的积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例

山东农业大 方本 一、有理函数的积分 有理函数的形式 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即 具有如下形式的函数： Px_ax”+ax7-+.+a-1x+a2 (x)box+xm++bmx+bm 当n<m时，称这有理函数是真分式，而当n≥m时，称这有理 函数是假分式 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的 形式.例如 x3+x+1x(x2+1)+1 -=X十 x2+1 x2+1 x2+1

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、有理函数的积分 有理函数的形式 当nm时, 称这有理函数是真分式;而当nm时, 称这有理 函数是假分式. 有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即 具有如下形式的函数: 假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的 形式. 例如 m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a Q x P x + ++ + + ++ + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( )  1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 2 2 2 3 + = + + + + = + + + x x x x x x x x  1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 2 2 2 3 + = + + + + = + + + x x x x x x x x  1 1 1 ( 1) 1 1 1 2 2 2 2 3 + = + + + + = + + + x x x x x x x x 

有理函数化为部分分式之和的一般规律： (1)分母中若有因式(x-),则分解后为 A A A (x-a)(x-a)2 (x-a)k 特殊地：k=1,分解后 -1 x-a (2)分母中若有因式(x2+x+),其中p2-4g<0 则分解后为 Mx+N M,x+N, +m+g列+ Mix+N (x2+px+q)''( (x2+px+q) 特殊地：k=1,分解后为 Mx+N x+px+ (3)真分式化为部分分式之和的方法（拼凑法，待定 系数法，赋值法)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 （1）分母中若有因式 ，则分解后为 k (x − a) , ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 k k x a A x a A x a A − + + − + −  有理函数化为部分分式之和的一般规律： 特殊地： 分解后为 ; x a A − k = 1, 则分解后为 （2）分母中若有因式 (x 2 + px + q) k , 其中 4 0 2 p − q  k k k x px q M x N x px q M x N x px q M x N ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 + + + + + + + + + + + +  特殊地： k = 1, 分解后为 ; 2 x px q Mx N + + + （3）真分式化为部分分式之和的方法(拼凑法,待定 系数法, 赋值法)

苏本堂 例1.将下列真分式分解为部分分式： (1) x+3 x(x-1)2 (2) x2-5x+6 解：(1)用拼凑法 。=X-(x- 1 x(x-1)2x(x-1)2 (x-Dxx-D 1_x-(x-1) (x-1)2 x(x-1) 1 1.1 (x-1)2x-1x

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1. 将下列真分式分解为部分分式 : 解: (1) 用拼凑法 2 2 ( 1) ( 1) 1 − = x x − x x 2 ( 1) 1 − = x ( 1) 1 − − x x 2 ( 1) 1 − = x ( −1) − x x 2 ( 1) 1 − = x 1 1 − − x x 1 + x −(x −1) x −(x −1)

(2)用赋值法 x+3 x+3 A B x2-5x+6(x-2)(x-3) X-2x-3 .A=(x-2)原式 =+3 =2x-x=2=-5 8=《-原式x=32引x=96 x+3 故 原式=一5+6 x-2x-3

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 (2) 用赋值法 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x − 2 = x A − 3 + x B  A = (x − 2)原式 x = 2 3 2 3 − = + = x x x = −5 B = (x −3)原式 x = 3 2 3 3 − = + = x x x = 6 故 2 5 − − = x 原式 3 6 − + x

1 等数雪 本堂 (3)用待定系数法 x+3 x+3 A B x2-5x+6(x-2)x-3) =x-2 x-3 .x+3=A(x-3)+B(x-2), ∴.x+3=(A+B)x-(3A+2B), A+B=1, → 、A=-5 -3A+2B)=3,→B=6, x+3 -5 6 x2-5x+6 x-2x-3

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x , 2 − 3 + − = x B x A  x + 3 = A(x − 3) + B(x − 2),  x + 3 = (A+ B)x − (3A+ 2B),    − + = + =  (3 2 ) 3, 1, A B A B , 6 5    = = −  B A 5 6 3 2 − + +  x x x . 3 6 2 5 − + − − = x x (3) 用待定系数法

四种典型部分分式的积分： 1.dngaC 2山1a-a4ca=w jg-e"h Mx+N (p2-4q<0,n≠1)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 四种典型部分分式的积分: = Aln x − a +C x a C (n 1) n A n − + − = 1− ( ) 1  − x x a A 1. d  − x x a A n d ( ) 2.  + + + x x px q M x N 3. d 2  + + + x x px q M x N n d ( ) 4. 2  + + u u a cu d d 2 2  + + u u a cu d n d ( ) 2 2

方本堂 求-·其巾n为整数 dx 解∫。 dx=1arctanX+C; 当n>1时，用分部积分法，有 wy+i+aae水 dx +a+2w-daw, X 即 -y+2-D-), 于是 2n-3

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 于是 (2 3) ] ( ) [ 2 ( 1) 1 2 2 2 −1 + − −1 − + n = n n n I x a x a n I  解 当n1时, 用分部积分法, 有 例 9 求  + = n n x a dx I ( ) 2 2  其中 n 为正整数 dx x a x n x a x x a dx  n n  n + + − + = + − − ( ) 2( 1) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 1 dx x a a x a n x a x n  n n + − + + − + = − − ] ( ) ( ) 1 2( 1) [ ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 1  解 C a x x a a dx I = + + = arctan 1 1 2 2  即 2( 1)( ) ( ) 2 n 1 2 2 n 1 n 1 n n I a I x a x I + − − + − = − − 即  dx x a x n x a x x a dx  n n  n + + − + = + − − ( ) 2( 1) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 1 dx x a x n x a x x a dx  n n  n + + − + = + − − ( ) 2( 1) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 1 dx x a a x a n x a x n  n n + − + + − + = − − ] ( ) ( ) 1 2( 1) [ ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 1 

例1求本. 解 xG =-本+x-本=l-C 0米字表6 6-是-j水2 解 -JxG3dw-Jx>-6lnlx-3l-5lnlx-2l+C

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 解 例 例 1 3 求 − dx x x 2 ( 1) 1  解   − + − = − − dx x x x dx x x ] ( 1) 1 1 1 1 [ ( 1) 1 2 2 解   − + − = − − dx x x x dx x x ] ( 1) 1 1 1 1 [ ( 1) 1 2 2    − + − = − dx x dx x dx x 2 ( 1) 1 1 1 1 C x x x + − = − − − 1 1 ln| | ln| 1|     − + − = − dx x dx x dx x 2 ( 1) 1 1 1 1 C x x x + − = − − − 1 1 ln| | ln| 1|    − − − = dx x dx x 2 5 3 6 =6ln|x−3|−5ln|x−2|+C 例 例2 1 求 − + + dx x x x 5 6 3 2  解  − + + dx x x x 5 6 3 2  − − + = dx x x x ( 2)( 3) 3  − − − = dx x x ) 2 5 3 6 解 (  − + + dx x x x 5 6 3 2  − − + = dx x x x ( 2)( 3) 3  − − − = dx x x ) 2 5 3 6 解 (  − + + dx x x x 5 6 3 2  − − + = dx x x x ( 2)( 3) 3  − − − = dx x x ) 2 5 3 6 (   − − − = dx x dx x 2 5 3 6 =6ln|x−3|−5ln|x−2|+C 解

主计 苏本 例3 求∫a+2+血 1 解 A Bx+C (1+2x)1+x2)1+2x1+x2’ 1=A1+x2)+(Bx+C)1+2x), 整理得1=(A+2B)x2+(B+2C)x+C+A, A+2B=0, A+C=1, 4 2 1 5 (1+2x)1+x2)1+2x 1+x

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3 求 . (1 2 )(1 ) 1  2 + + dx x x . 1 5 1 5 2 1 2 5 4 2 x x x + − + + + = 1 (1 ) ( )(1 2 ), 2 = A + x + Bx + C + x 1 ( 2 ) ( 2 ) , 2 = A+ B x + B + C x + C + A      + = + = + = 1, 2 0, 2 0, A C B C A B , 5 1 , 5 2 , 5 4  A = B = − C = (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x  整理得 解 (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x , 1 2 1 2 x Bx C x A + + + + =