《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）泰勒公式

主计 本 第三节泰勒公式 一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第三节 泰勒公式 一、泰勒公式的建立 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用

、泰勒公式的建立 1.问题的提出 根据函数的微分，有 x)=孔x+f'(xox-x)+o(x-x(当x-xo很小时)， 略掉o(x-xo),得到求孔x)的近似公式 x)xo+f'(x)x-xo)(当x-xo很小时) 其误差为 R(xAx)Ax)f(xo)(-xo) 近似公式的不足：精确度不高，误差难于估计 为了达到一定的精确度要求，可考虑用n次多项式 Pnx)来近似表达x)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、泰勒公式的建立 1.问题的提出 根据函数的微分, 有 f(x)=f(x0 )+f (x0 )(x-x0 )+o(x-x0 )(当|x-x0 |很小时), 略掉o(x-x0 ), 得到求f(x)的近似公式 f(x)f(x0 )+f (x0 )(x-x0 )(当|x-x0 |很小时), 其误差为 R(x)=f(x)-f(x0 )-f (x0 )(x-x0 ). 近似公式的不足: 精确度不高, 误差难于估计. 为了达到一定的精确度要求, 可考虑用n次多项式 Pn (x)来近似表达f(x)

2.系数的确定 设函数x)在含x的开区间内具有直到(n+1)阶导数， 我们希望找出一个关于(x-xo)的n次多项式 Pn(x)=ao+a1(Gx-xota2(x-xo)2+·+an(x-xo” 来近似表达x).我们自然希望P(x)与x)在x的各阶导数 (直到(+1)阶导数)相等： Axo)=Pn(xo), f(o)=P(O). f"(o)=P"(o), f"(o)=Pn(o) f((xo)-P,()(xo)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 2.系数的确定 设函数f(x)在含x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数, 我们希望找出一个关于(x−x0 )的n次多项式 Pn (x)=a0+a1 (x−x0 )+a2 (x−x0 ) 2+    +an (x−x0 ) n 来近似表达f(x). 我们自然希望Pn (x)与f(x)在x0的各阶导数 (直到(n+1)阶导数)相等: f(x0 )=Pn (x0 ), f (x0 )=Pn (x0 ), f (x0 )=Pn (x0 ), f (x0 )=Pn (x0 ),      , f (n) (x0 )=Pn (n) (x0 )

Pn(xo)=f(xo).p(xo)=f(xo).(xo)=(xo) 令 pn(x)=ao+a(x-x0)+a2(x-x0)+.+an(x-x0)" 则 p(x)= a+2a2(x-x0)++nan(x-x0)7- ph(x)= 2la2+.+n(n-1)an(x-o)n-2 p(x)= nlan ao=Pn(xo)=f(xo), 4=pn(0)=f'(xo), 4=P%(xw)=f”(x0),an=P”(xo)=fm(x) 故Pn()=f(x)+f'(ox-0)+克f"(xox-x)2+. +fm(o)(x-o)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 ( ) 2! 0 1 2 a p x n =  ( ), 0 = f  x  , ( ) 0 ( ) ! 1 a p x n n = n n ( ) 0 ( ) f x n = 故 pn (x) = ( )0 f x ( )( ) 0 0 + f  x x − x + 2 ! 1 ! 1 n n n f (x )(x x ) 0 0 ( ) + − ! 1 n 2 0 0 + f (x )(x − x ) 2 ! 1 令 pn (x) = 则 pn  (x) = pn (x) =  n an = ! ( ) ( ) p x n n ( ) 0 0 a p x = n ( ), 0 = f x ( ) 1 0 a p x n =  ( ), 0 = f  x a1 2 ( ) 2 0 + a x − x 1 0 ( ) − + + − n n  na x x 2 2!a 2 0 ( 1) ( ) − + + − − n n  n n a x x a0 n n a (x x ) a (x x ) a (x x ) 0 2 + 1 − 0 + 2 − 0 ++ −

山东农业大 3.余项估计 令R(x)=f(x)-pn(x)(称为余项)，则有 R,(x)=R,(x)=.=Rm(x)=0 R,(x) (x-xo)21 Rn(x)-R.(xo）= R,(51) (51在x与x之间) (x-x0)m+1-0 (n+1)(5-x)” R,(51)-R,(xo)】 R(52) (52在x0与 (n+15-xo)”-0(n+1)n(52-xo)” 51之间 Rm(5m)-R”(x）_Rm+(5) (5在x0与X之间 (n+1).2(5m-xo)-0 (n+1)川

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 ) 0 ( 在x 与 n 之间 ( ) ( ) 1 0 + − = n n x x R x ( 1) 2( ) ( ) 0 ( ) n x R n n n n + − =    3. 余项估计 R (x) f (x) p (x) 令 n = − n (称为余项) , ( ) 0 R x n ( ) 0 R x n =  ( ) 0 0 ( ) = = R x = n  n 1 0 ( ) ( ) + − n n x x R x n n n x R ( 1)( ) ( ) 1 0 1 + −  =   ( 1)( ) ( ) 1 0 1 n n n x R + −  =   1 2 0 2 ( 1) ( ) ( ) − + −  = n n n n x R   = ( 1)! ( ) ( 1) + = + n R n n  则有 ( ) 0 R x − n − 0 ( ) 0 R x n −  − 0 ( ) 0 ( ) R x n − n − 0 x ) 1 0 ( 在x 与x之间) 1 2 0 ( 之间 在 与   x

R,(x)=f(x)-pn(x) R,(x) +v(⑤5) (x-)+T= (5在x,与x之间) (n+1)! p()0.R(x)f(x) m+x-m(传在6与x之间 当在x的某邻域内fm+(x)≤M时 B()( M .R,(x)=o(x-x)”)(x→xo)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 R (x) f (x) p (x) n = − n ) 0 ( 在x 与x之间 ( ) 0, ( 1) = + p x n  n 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x  ( ) ( ) ( 1) ( 1) R x f x n n n + +  = 当在 x0 的某邻域内 f (n+1) (x)  M 时 ) 0 ( 在x 与x之间 1 0 ( 1)! ( ) + − +  n n x x n M R x ( ) (( ) ) ( ) 0 0 R x o x x x x n  n = − →

山东农业大 泰勒中值定理： 若f(x)在包含xo的某开区间(a,b)内具有 直到n+1阶的导数，则当x∈(a,b)时，有 )=f）+fxx-x）+f'(x-x+ 21 +(o(x-x+R,(x) ① n! 其中Rwfa9:-)传在飞与x之间② (n+1)川 公式①称为f(x)的n阶泰勒公式 公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 公式 ① 称为 的 n 阶泰勒公式 . 公式 ② 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 . 泰勒中值定理 : 阶的导数 , 时, 有 ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f  x x − x 2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x −  + + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − R (x) + n ① 其中 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) ( ) + + − + = n n n x x n f R x  ② 则当 ) 0 ( 在x 与x之间

注意到 R.(x)=o[(x-x)”] 在不需要余项的精确表达式时，泰勒公式可写为 f(x)=f()+f(xox-xo)+(x- 21 +f(o2(x-x”+ox-xo)] ④ nl 公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项 *可以证明： ∫(x)在点xo有直到n阶的导数 > ④式成立

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 公式 ③ 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 . 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) 0 ( 0 ) 2 + 2! ( ) x x f x −  + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − [( ) ] 0 n + o x − x ( ) [( ) ] 0 n n 注意到 R x = o x − x ③ ④ * 可以证明: ④ 式成立

本 f(x)=f(xo)+f(xo)x-)+(x-%0+. 2 +x-x,r+a包x-x) (5在xo与x之间 特例： (1)当n=0时，泰勒公式给出拉格朗日中值定理 f(x)=f(x)+f'(5)x-x) (5在x0与x之间 (2)当n=1时，泰勒公式变为 f)=f0)+f0X0-)+)52(x-2 可见f(x)≈f(xo)+f'(o)x-x) 25在0与x之间 误差 -:-6八后6与r之

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 特例: (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 + f   x − x (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f  x x − x 2 0 ( ) 2! ( ) x x f −  +  可见 误差f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f  x x − x + 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + + n n x x n f  2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x −  + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − d f ) 0 ( 在x 与x之间) 0 ( 在x 与x之间) 0 ( 在x 与x之间 ) 0 ( 在x 与x之间

在泰勒公式中若取x=0,5=日x(0<0<1),则有 f0+/ox+/P+a0r n! +fam0x1 (n+1)！ 称为麦克劳林（Maclaurin)公式. 由此得近似公式 f)sf0)+f0x+f0x2++fm0 2! n! 若在公式成立的区间上fm(x)≤M,则有误差估计式 M

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 称为麦克劳林（Maclaurin ）公式 . 0 , (0 1) , x0 =  = x   则有 f (0)+ f (0)x 2 + 2! (0) x f  + n n x n f ! (0) ( ) + 在泰勒公式中若取 f (x) = ( ) 0 f x ( )( ) 0 0 + f  x x − x + 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( ) + + − + + n n x x n f  2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x −  + n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) + − ) 0 ( 在x 与x之间 f (x)  f (0) + f (0)x + ( ) , ( 1) f x M n  + 则有误差估计式 1 ( 1)! ( ) + +  n n x n M R x 2 2! (0) x f  + n n x n f ! (0) ( ) + 若在公式成立的区间上 由此得近似公式