《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）隐函数和参数方程求导

§2.4隐函数和参数方程求导 一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导数 三、相关变化率

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、由参数方程所确定的函数的导数 一、隐函数的导数 §2.4隐函数和参数方程求导 三、相关变化率

一、隐函数的导数 显函数与隐函数 形如y=x)的函数称为显函数 例如，y=sinx,y=lnx+ex都是显函数 由方程Fx,y)=O所确的函数称为隐函数. 例如，方程x+y3-1=0确定的隐函数为y=1-x. 把一个隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化， 隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数，然后从所得的新的方程 中把隐函数的导数解出

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 一、隐函数的导数 显函数与隐函数 形如y=f(x)的函数称为显函数 例如 y=sin x y=ln x+e x 都是显函数 由方程F(x y)=0所确的函数称为隐函数 把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 例如 方程x+y 3−1=0确定的隐函数为 3 y = 1−x  隐函数的求导法 把方程两边分别对x求导数 然后从所得的新的方程 中把隐函数的导数解出

山东农业大 等数 主计 苏本堂 例1求由方程e'+xy-e=0所 例2求由方程y5+2y-x-3x7=0 确定的隐函数的导数， 所确定的隐函数=孔x)在 解方程中每一项对x求导得 x=0处的导数y儿xo 解方程两边分别对x求导数得 (e)y'+(xy)'-(e)'=(0)', 5y4y'+2y-1-21x6-0, 即 er.y'+y+xy'=O, 由此得 从而 y=xete'0 y=1+21r6 5y4+2 因为当=0时，从原方程得 0,所以 yh.o

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例1 求由方程e y+xy−e=0所 确定的隐函数y的导数 (e y )+(xy)−(e)=(0) 即 e y y+y+xy=0 解方程中每一项对x求导得 从而 y x e y y +  =− (x+e y 0) 例2 求由方程y 5+2y−x−3x 7=0 所确定的隐函数y=f(x)在 x=0处的导数y| x=0  因为当x=0时 从原方程得 y=0 所以 5y 4 y+2y−1−21x 6=0 解方程两边分别对x求导数得 由此得 5 2 1 21 4 6 + +  = y x y  2 1 | 5 2 1 21 | 0 4 6 0 = + +  x= = x= y x y 

例3.求椭圆 =1在点(2，弓3)处的切线方程， 169 解：椭圆方程两边对x求导 2 gyy=0 x=2 x=2 y=3 16yy=35 A 故切线方程为5= (x-2) 4 即 √3x+4y-8V3=0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例3. 求椭圆 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 8 x + y  y  9 2 = 0  y  2 3 2 3 = = x y y x 16 9 = − 2 3 2 3 = = x y 4 3 = − 故切线方程为 3 2 3 y − 4 3 = − (x − 2) 即

山东农业大 例4求由方程x-+smy=0所确定的隐函数少 的二阶导数 解方程两边对x求导，得 1-1 y=0, 床+2cosy 于是 dy 2 dx 2-cosy 上式两边再对x求导，得 d2y -2sin y. dy dx -4sin y dx2 (2-cosy)2 (2-cosy)3

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 解 上式两边再对x求导 得 的二阶导数 例 例 4 4 ．求由方程 sin 0 2 1 x− y+ y = 所确定的隐函数 y 方程两边对x求导 得 cos 0 2 1 1− +  = dx dy y dx dy  于是 dx y dy 2 cos 2 − =  2 2 3 2 (2 cos ) 4sin (2 cos ) 2sin y y y dx dy y dx d y − − = − −  =  2 2 3 2 (2 cos ) 4sin (2 cos ) 2sin y y y dx dy y dx d y − − = − −  =  2 2 3 2 (2 cos ) 4sin (2 cos ) 2sin y y y dx dy y dx d y − − = − −  = 

对数求导法 此方法是先在y=孔x)的两边取对数，然后用隐函数求 导法求出y的导数. 设y=x),两边取对数，得 In y=In fx), 两边对x求导，得 Ly=[lnf(x), y'=Ax)[In fx]' 对数求导法适用于求幂指函数，=[u(x)]的导数及多 因子之积和商的导数

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 y= f(x)[ln f(x)] 对数求导法适用于求幂指函数y=[u(x)]v(x)的导数及多 因子之积和商的导数 此方法是先在y=f(x)的两边取对数 然后用隐函数求 导法求出y的导数 设y=f(x) 两边取对数 得 ln y=ln f(x) 两边对x 求导 得 对数求导法 [ln ( )] 1 y  = f x  y 

例5求y=x sinx(x>0)的导数. 解法一两边取对数，得 In y=sin x-In x, 上式两边对x求导，得 cos3-xts 于是 -(coSx.inx+sinx-im(cosx-x+) 解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求 x sin x=e sin x.Inx y=esinxin(sinxnx=xsin(cosx-xn)

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例5 求y=x sin x (x>0)的导数 x y x x x y 1 cos ln sin 1  =  +   于是 ) 1 (cos ln sin x y  = y x x+ x ) sin sin (cos ln x x x x x = x  +  解法二 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求. 解法一 上式两边对x求导 得 两边取对数 得 ln y=sin xln x y=x sin x=e sin x·ln x  ) sin sin ln (sin ln ) sin (cos ln x x y e x x x x x  = x x   = x  + )  sin sin l n (sin ln ) sin (cos ln x x y e x x x x x  = x x   = x  + 

例6求函数y= (x 10(x-2) 的导数 (x-3)x-4) 解先在两边取对数，得 In y=[ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4)J. 上式两边对x求导，得 于是 11 -2x34 说明： 严格来说，本题应分x心4，x<1,2<x<3三种情况讨论， 但结果都是一样的

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 上式两边对x求导 得 说明 严格来说 本题应分x4 x1 2x3三种情况讨论 但结果都是一样的 例 例 6 6 求函数 ( 3)( 4) ( 1)( 2) − − − − = x x x x y 的导数 先在两边取对数 得 ln y 2 1 = [ln(x−1)+ln(x−2)−ln(x−3)−ln(x−4)] ) 4 1 3 1 2 1 1 1 ( 2 1 1 − − − − − + −  = x x x x y y  于是 ) 4 1 3 1 2 1 1 1 ( 2 − − − − − + −  = x x x x y y  解

山东农业 主讲 二、由参数方程所确定的函数的导数 设y与x的函数关系是由参数方程 =0 确定的. 设x=0)具有反函数仁(x),且仁(x)与y=()构成 复合函数=[(x小.若x=()和y=(t)都可导，则 少-少.dt-y.1=) dx dt dx dt dx p't) y 即 少-0或少= p'0 d d dt

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 设x=j(t)具有反函数t=j-1 (x) 且t=j-1 (x)与y=y(t)构成 复合函数y=y[j-1 (x)] 若x=j(t)和y=y(t)都可导 则 ( ) 1 ( ) t t dt dt dx dy dx dt dt dy dx dy j y   =  =  =  即 ( ) ( ) t t dx dy j y   = 或 dt dx dt dy dx dy =  ( ) 1 ( ) t t dt dt dx dy dx dt dt dy dx dy j y   =  =  =  ( ) 1 ( ) t t dt dt dx dy dx dt dt dy dx dy j y   =  =  =  二、由参数方程所确定的函数的导数 设 y 与 x 的函数关系是由参数方程    = = ( ) ( ) y t x t y j 确定的

东 若=和0都可导，则少= dx p'(t) 例7.求椭圆 X二ac0!在相应于1=平点处的切线方程 y=bsint 解 dy (bsint)' )'_bcost_=_bcott. dx (acost)' '-asint a 所求切线的斜率为%！：名 dx 4 a 切点的坐标为=ac0=a兰，为-sn-b √2 切线方程为)y-b-:》. 2 a 即 bx+ay-2 ab =0

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 若 x=j(t)和 y=y(t)都可导 则 ( ) ( ) t t dx dy j y   =  解 t a b a t b t a t b t dx dy cot sin cos ( cos ) ( sin ) =− − =   解 解  = t  a b a t b t a t b t dx dy cot sin cos ( cos ) ( sin ) =− − =   解 = t  a b a t b t a t b t dx dy cot sin cos ( cos ) ( sin ) =− − =   =  切点的坐标为 2 2 4 cos x0 =a =a   2 2 4 y0 =bsin =b   切线方程为 ) 2 2 ( 2 2 x a a b y−b =− −  即 bx+ay− 2 ab =0 切点的坐标为 2 2 4 cos x0 =a =a   2 2 4 y0 =bsin =b   例7  求椭圆   = = y b t x a t sin cos 在相应于 4  t = 点处的切线方程 所求切线的斜率为 a b dx dy t = − = 4  