《高等数学》课程教学资源（PPT课件，上册）无穷小和无穷大

主计 方本堂 第四节无穷小和无穷大 一、无穷小 二、 无穷大 三、无穷小和无穷大的关系

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 第四节无穷小和无穷大 一、 无穷小 二、 无穷大 三、 无穷小和无穷大的关系

东农 一、 无穷小 定义1.若x→xo(或x→o)时，函数f(x)→0， 则称函数f(x)为x→x,(或x→o)时的无穷小 特别的若limx=0,称数列{x,}为n→oo时的无穷小. 例如： 1im(x-1)=0,函数x-1当x→1时为无穷小； x→1 1im1=0,函数1当x→o时为无穷小 x→0X 1 lim 当x→-0时为无穷小 x→-01-x 0函数

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 当 一、 无穷小 定义1 . 若 时 , 函数 例如 : 函数 当 时为无穷小; 函数 时为无穷小; 函数 当 (或x → ) 时为无穷小. 则称函数 为 (或x → ) 时的无穷小. 特别的若 lim 0, n n x → = { }n 称数列 x 为 n →  时的无穷小

定义1.若x→x。(或x→0)时，函数f(x)→0，则 则称函数f(x)为x→x(或x→o)时的无穷小. 说明：除0以外任何很小的常数都不是无穷小！ 因为 1imC=0=6>0,36>0, x→x0 当0<x-<6时， C-0<6 显然C只能是0！

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为 当 时, 显然 C 只能是 0 ! C C (或 x → ) 时 , 函数 则称函数 为 定义1. 若 (或 x → ) 则 时的无穷小

定理1.（无穷小与函数极限的关系） Iimf(x)=A三f(x)=A+,其中a为x→xo x→x0 时的无穷小量 证：limf(x)=A x→X0 ε>0,36>0，当0<x-xo<6时，有 f(x)-A<ε 0=f(x)-A lim &=0 x→X0 对自变量的其它变化过程类似可证

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 其中 为 0 x → x 时的无穷小量. 定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ) f x A x x = → lim ( ) 0 f (x) = A+ , 证: f x A x x = → lim ( ) 0   0,   0, 当 0  x − x0   时,有 f (x) − A    = f (x) − A lim 0 0 = →  x x 对自变量的其它变化过程类似可证

1东农大 主 本 二、无穷大 定义2.若任给M>0,总存在δ>0（正数X),使对 一切满足不等式0X)的x,总有 f(x)>M ① 则称函数f(x)当x→x,(x→0)时为无穷大，记作 lim f(x)=co.(lim f(x)=0) x→Xg x->00 若在定义中将①式改为f(x)>M(f(x)<-M), 则记作 lim f(x)=+o lim f(x)=-00) x→Xg x→xo (x→0) (x→0)】

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 二、 无穷大 定义2 . 若任给 M > 0 , 一切满足不等式 的 x , 总有 则称函数 当 时为无穷大, 使对 若在定义中将①式改为 ① 则记作 ( lim ( ) ) ( ) 0 = − → → f x x x x ( x  X ) ( x → ) (lim ( ) =  ) → f x x (正数 X ) , 记作 ( f (x)  −M ), 总存在

注意： 1.无穷大不是很大的数，它是描述函数的一种状态 2.函数为无穷大，必定无界.但反之不真！ 例如，函数f(x)=xC0Sx,x∈(-o0,十o) f(2nπ)=2nπ→o(当n→o) 但f(钙+nπ)=0 V=XCOSX 所以x→0时，f(x)不是无穷大！

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 注意: 1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态. 2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! 例如, 函数 当 但 所以 时 , 不是无穷大 !

等数学 主进 本 例.证明lim =00 x->1x-1 证：任给正数M,要使 1>M,即-1 y 1)= x-1 所以lim =00 x>1x-1 说明：若limf(x)=o,则直线x=xo x→xg 为曲线y=∫(x)的铅直渐近线 渐近线

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 例 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 只要取 , 1 M  = 则对满足 的一切 x , 有 所以 若 则直线 0 x =x 为曲线 的铅直渐近线. 渐近线 说明:

三、无穷小与无穷大的关系 定理2.在自变量的同一变化过程中， 若f()为无穷大，则】 为无穷小： f(x) 若为无穷小，且0，则 为无穷大 (自证) 说明：据此定理，关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 三、无穷小与无穷大的关系 若 为无穷大, ( ) 1 f x 为无穷小 ; 若 为无穷小, 且 f (x)  0, 则 ( ) 1 f x 为无穷大. 则 (自证) 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论. 定理2.在自变量的同一变化过程中, 说明:

作业：p-42习题1-4 2(1)2),7,8

山东农业大学 高等数学 主讲人：苏本堂 作业：p-42 习题1-4 2(1)(2), 7，8