《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章_D8_3平面方程

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第三节 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程 第八章

一、曲面方程的概念 引例：求到两定点A(1,2,3)和B2,-1,4)等距离的 点的轨迹方程 解设轨迹上的动点 M(x,y,z),则AM=BM,即为 V(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2 =V(x-2)2+(y+1)2+(z-4)2 化简得2x-6y+2z-7=0 说明：动点轨迹为线段AB的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程， 不在此平面上的点的坐标不满足此方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、曲面方程的概念 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的 点的轨迹方程. 2 2 2 (x −1) + (y − 2) + (z − 3) 化简得 2x − 6y + 2z − 7 = 0 即为 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 2 2 2 = (x − 2) + ( y +1) + (z − 4) 解:设轨迹上的动点 M (x, y,z),则 AM = BM , 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定义1.如果曲面S与方程F(x,yz)=0有下述关系： (1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程， (2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程 则F(x,%z)=0叫做曲面S的方程 F(x,y,2)=0 曲面S叫做方程F(x,yz)=0的图形 两个基本问题： (1)已知一曲面作为点的几何轨迹时， 求曲面方程 (2)已知方程时， 研究它所表示的几何形状 (必要时需作图). HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

定义1. F(x, y,z) = 0 S z y x o 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ). 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、平面的点法式方程 设一平面通过已知点Mo(x,y%,二，)且垂直于非零向 量n=(A,B,C),求该平面Π的方程 任取点M(x,y,z)eⅡ，则有 MM⊥元 故 MoM.n=0 MoM=(x-x0,y-o,2-20) A(x-xo)+B(y-y%)+C(2-2o)=0 称①式为平面Π的点法式方程，称为平面Ⅱ的法向量. HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 z y x o M0 n ① 二、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 A(x − x0 ) + B(y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z), 法向量. 量 n = (A , B, C), M0M ⊥n M0M n = 0 则有 故 称 n为平面 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求过点M(2,1,1),且垂直于向量i+2j-3k 的平面Π的方程 解：取该平面Π的法向量为 n=i+2j-3k =(1,2,-3) 又M,∈卫，利用点法式得平面Π的方程 1(x-2)+2(y-1)-3(z-1)=0 即x+2y-3z-1=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束

例1.求过点 , 又M1  = − (1, 2, 3) 即 解: 取该平面 的法向量为 的平面  的方程. 利用点法式得平面  的方程 n 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且垂直于向量

例2.求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2),M3(0,2,3) 的平面Π的方程 解：取该平面血的法向量为 n=MM2×MM3 M M3 =-3 4 -6 M2 -23-1 =(14,9,-1) 又M,∈Π，利用点法式得平面Ⅱ的方程 14(x-2)+9(y+1)-(z-4)=0 即 14x+9y-z-15=0 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

i j k = 例2.求过三点 , 又M1  = (14, 9, −1) 即 M1 M2 M3 解: 取该平面 的法向量为 的平面  的方程. 利用点法式得平面  的方程  − 3 4 − 6 − 2 3 −1 n n = M1M2  M1M3 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明：此平面的三点式方程也可写成 x-2y+1z-4 -3 4 一6 -2 3 一般情况：过三点M(xk,y%,2k)(k=1,2,3) 的平面方程为 x-1 y-1 2-21 x2-X1y2-y1 22-21 =0 x3-X1 y⅓-1 23-1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

此平面的三点式方程也可写成 0 2 3 1 3 4 6 = − − − − x − 2 y +1 z − 4 一般情况 : 过三点 M (x , y ,z ) (k =1,2,3) k k k k 的平面方程为 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束

特别，当平面与三坐标轴的交点分别为 P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c 时，平面方程为 x+y+2=1(a,b,c≠0) a b c 此式称为平面的截距式方程 分析利用三点式 x-a =0 -a 按第一行展开得(x-a)bc-y(-a)c+ab=0 即 bcx acy +abz abc HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

特别,当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程. + + =1 c z b y a x 时, (a,b,c  0) (x − a)bc− y(−a)c + zab = 0 bcx + acy +abz = abc 平面方程为 分析:利用三点式 按第一行展开得 即 = 0 x − a y z − a b 0 − a 0 c 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、平面的一般方程 设有三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C2*0) ② 任取一组满足上述方程的数x0,0,0,则 Ax0+B0+C20+D=0 以上两式相减，得平面的点法式方程 A(x-x0)+B(y-Yo)+C(z-Z0)=0 显然方程②与此点法式方程等价因此方程②的图形是 法向量为=(A,B,C)的平面，此方程称为平面的一般 方程 》HIGH EDUCATION PRESS 机动目 下页返回结束

三、平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 Ax + By +Cz + D = 0 任取一组满足上述方程的数 , , , 0 0 0 x y z 则 Ax0 + B y0 +C z0 + D = 0 显然方程②与此点法式方程等价, ( 0) 2 2 2 A + B +C  ② n = (A,B,C) 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

Ax+By+Cz+D=0(A2+B2+C20) 特殊情形 ·当D=0时，Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面； ·当A=0时，By+Cz+D=0的法向量 n=(0,B,C)Li,平面平行于x轴： ·Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面 ·Ax+By+D=0表示平行于z轴的平面， ·C:+D=0表示平行于xoy面的平面， ·Ax十D=0表示平行于y02面的平面； ·By+D=0表示平行于0x面的平面. HIGH EDUCATION PRESS DeOC8 机动目录上页下页返回结束

特殊情形 • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 • A x+B y+D = 0 表示 • C z + D = 0 表示 • A x + D =0 表示 • B y + D =0 表示 Ax + By +Cz + D = 0 ( 0) 2 2 2 A + B +C  平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. n = (0,B,C) ⊥ i, 机动 目录 上页 下页 返回 结束