《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第八章 向量代数与空间解析几何 8-6 空间曲线及其方程

第之为 第八章 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影

第八章 一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 第六节 空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线，其一般方程为方程组 F(x,y,2z)=0 G(x,y,z)=0 G(x.y. F(x,y,=0 例如，方程组 ↑☑ x2+y2=1① 2x+3z=6② 表示圆柱面与平面的交线C

一、空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线, 其一般方程为方程组 S2 G(x, y,z)  0 L F(x, y,z)  0 S1 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. x z O 1 y C 2 ① ②

又如，方程组 z-Va2-x2-y2 ① 1x2+y2-ax=0 ② (x- 2+y2= 4 表示上半球面与圆柱面的交线C

又如,方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C. z y x a C ① ②

二、空间曲线的参数方程 将空间曲线C上的动点坐标x,y表示成参数1的函数： x=x(t) y=(t) (2) Z=Z(t) 当给定t=1时，就得到上的一个点(xy);随着1 的变动便可得曲线C上的全部点。 称方程组(2)为空间曲线的C参数方程

二、空间曲线的参数方程 将空间曲线C上的动点坐标 x, y, z表示成参数 t 的函数: 称方程组（2）为空间曲线的C参数方程. 当给定 时，就得到上的一个点 随着t 的变动便可得曲线C上的全部点。 (2)

例1 如果空间一点M在圆柱x2+y2=a 上以角速度o绕z轴旋转，同时 又以线速度沿平行于Z轴的正方向 上升，那么点M构成的图形叫螺旋 线。试求其参数方程。 M(x,y,Z 解得方程为： x=acoswt (x,0 y=asinat 令0=0t,b= x=acos z=vt y=asin z=b0 当0=2π时，上升高度h=2πb,称为螺距

z y x O    v 令  t , b  上升高度 h  2π b, 称为螺距 .  M 例1 如果空间一点M在圆柱 M / 2 2 2 x y a   上以角速度 绕 轴旋转，同时 又以线速度v沿平行于Z轴的正方向 上升，那么点M构成的图形叫螺旋 线。试求其参数方程。 N 解得方程为：

三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 消去z得柱面方程H(x,y)=0, 此柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱 面。则方程 H(x,y)=0 z=0 表示投影柱面与xOy面(=O)的交线， 称为曲线C关于xOy面的投影曲线。简称投影

三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 消去 z 得柱面方程      0 ( , ) 0 z H x y z y x C C O 则方程 此柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱 面。 表示投影柱面与xOy面(z=0)的交线， 称为曲线C关于xOy面的投影曲线。简称投影

三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0 消去x得包含C在yOz面上的投影曲线 的方程 R(y,2)=0 x=0 消去y得包含C在zOx面上的投影曲线的方程 T(x,z)=0 y=0

三、空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 消去 x 得包含C 在yOz 面上的投影曲线 的方程 消去y 得包含C在zOx 面上的投影曲线的方程      0 ( , ) 0 x R y z      0 ( , ) 0 y T x z

例如， c46-r-e- x2+y2+z2=1 ① 1② 让①-②得 z=1-y, 将上式代入①式就得曲线C在xOy面上的投影 曲线方程为 x2+2y2-2y=0 2=0

z y x 1 O C 例如, 将上式代入①式就得曲线C在xOy 面上的投影        0 2 2 0 2 2 z x y y            ( 1) ( 1) 1 1 : 2 2 2 2 2 2 x y z x y z C ① ② 让①-②得 z y  1 , 曲线方程为

又如， 上半球面z=√4-x2-y2和锥面z=√3(x2+y2) 所围的立体2在xOy面上的投影区域为：二者交线在 xOy面上的投影曲线所围之域 二者交线 c: 2=V4-x2-y2 z=V3(x2+y2) 在xOy面上的投影曲线 x2+y2=1 z=0 所围圆域D:x2+y2≤1，z=0

z x 1 y 又如, 所围的立体Ω在xOy面上的投影区域为: 上半球面 和锥面 在 xOy 面上的投影曲线 二者交线 1, 0. 2 2 所围圆域D: x  y  z  二者交线在 xOy 面上的投影曲线所围之域 . C O Ω D

内容小结 ·空间曲线 一+三元方程组 或参数方程（如，圆柱螺线） ·求投影曲线

内容小结 • 空间曲线 三元方程组 或参数方程 • 求投影曲线 (如, 圆柱螺线)