《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十一章 曲线积分与曲面积分 11-5 对坐标的曲面积分

第五节 第十一章 对望标的曲面积分 一、有向曲面及曲面元素的投影 二、对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系

第五节 一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系 对坐标的曲面积分 第十一章

一、有向曲面及曲面元素的投影 ·双侧曲面 曲面分内侧利 外侧 曲面分上侧和 曲面分左侧和 下侧 右侧

一、有向曲面及曲面元素的投影 • 双侧曲面 曲面分上侧和 下侧 曲面分内侧和 外侧 曲面分左侧和 右侧

·指定了侧的曲面叫有向曲面，其方向用法向量指向 表示 方向余弦 cos a cos B cos y 封闭曲面 > >0为右侧>0为上侧 外侧 侧的规定 0为前侧 0时 w-62 类似可规定 当cosy<0时 (△S)z,(△S)a 当cosy≡0时

其方向用法向量指向 方向余弦 cos cos  cos  > 0 为前侧 0 为右侧 0 为上侧 < 0 为下侧 外侧 内侧 • 设  为有向曲面, ( ) , xy S S (S) xy  侧的规定 • 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 : 其面元 在 xOy 面上的投影记为 的面积为 则规定 ( ) ,  xy ( ) ,   xy 0 , 当cos  0时 当cos  0时 当cos  0时 类似可规定 S yz S zx ( ) , ( )

二、对坐标的曲面积分的概念与性质 1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 V=(P(x,y,2),Qx,y,2),R(x,y,2) 求单位时间流过有向曲面Σ的流量Φ 分析：若是面积为S的平面， 法向量：n=(cosa,cosB,cosY） 流速为常向量： 则流量 Φ=S.cos0 =Sv.n

二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面 的流量 . S  分析: 若 是面积为S 的平面, 则流量 法向量: 流速为常向量: n v

对一般的有向曲面Σ，对稳定流动的不可压缩流体的 速度场V=(P(x,y,2),Q(x,y,2),R(x,y,2》 用“大化小，常代变，近似和，取极限” 进行分析可得D=1im之可·，△S, >0 i=l 设，=(cos%,c0S,c0SY1),则 lim >[P(5m)cosa;+(5n5)cosB; 2-→0 +R(5,7,5i)cosY,]△S =mP5n5As),=+05,7,5As,)= 2>0 +R(5,1n,5i)(△S)xy]

Σ 对一般的有向曲面 , 用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”   n i 1 0 lim    0 lim      n i 1  P i i  i i ( , , )cos R i i i i  ( , , )cos 0 lim      n i 1 Q i i  i i  ( , , )cos Si 对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 进行分析可得 ni i v i ni Si v   (cos , cos , cos ) ni i i i 设      , 则

定义设∑是光滑的有向曲面，函数R(x,y,z)在∑ 上有界.把∑任意分成n个小块△S(△S同时也代 表第小块曲面的面积)，△S,在xOy面上的投影 为（△S,),设(5,7,5，）是△S,上任意取定的一点 作乘积R(5,7,5,(△S,)(i=1,2,n,并作和 ∑R(5,7,S△S)w,如果当各小块曲面的直径 最大值入→0时，这和的极限存在，则称此极限 为函数(x,y,)在有向曲面∑上对坐标x、的 曲面积分或第二类曲面积分，记作R(x,y,2)dxd

定义 设   是光滑的有向曲面 函数R x y z ( , , )在 上有界. ( i i 把   任意分成n S S 个小块 同时也代 表第i小块曲面的面积), i S xOy 在 面上的投影 ( )i xy 为 S , ( , , ) , i i i i 设    是S 上任意取定的一点 ( , , )( ) ( 1,2, , ), R S i n i i i i xy 作乘积      并作和 1 ( , , )( ) , n i i i i xy i R S      如果当各小块曲面的直径 最大值   0 , , 时 这和的极限存在 则称此极限 为函数R x y ( , , )z 在有向曲面上对坐标x y 、 的 曲面积分或第二类曲面积分, R x y z x y ( , , )d d .  记作

即 「R(x,.eddy=lim∑R5.n.5,X△S) 类似地，P(x,y,)在有向曲面∑上对坐标以二的 曲面积分，记作厂P(x,y,)d止.Q(x,y,)在有向曲 面Σ上对坐标、x的曲面积分，记作『(x,y,)d 且P,y=☏之P5h,5AS)-, i=1 ∬2x,y,2)ddr=lm∑Q5,n,5,△S)- PQ,R叫做被积函数，Σ叫做积分曲面

即 0 1 ( , , )d d lim ( , , )( ) , n i i i i xy i R x y z x y R S            类似地, P y ( , , ) x z 在有向曲面上对坐标y、z的 曲面积分, P x y z y z ( , , )d d .  记作 Q x y z ( , , )在有向曲 面上对坐标z x 、 的曲面积分, Q x y z z x ( , , )d d .  记作 且 0 1 ( , , )d d lim ( , , )( ) , n i i i i yz i P x y z y z P S            0 1 ( , , )d d lim ( , , )( ) . n i i i i zx i Q x y z z x Q S            P, Q, R 叫做被积函数;  叫做积分曲面

·积分的存在性 当P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,2)在有向光滑曲面Σ上 上连续，则对坐标的曲面积分存在 组合形式 d-dR(dxdy P(=)dvd+(=)d=dx+R(x=)dxdy 引例中，流过有向曲面Σ的流体的流量为 =P(x,y,=)dyd=+O(x,y,=)d=dx+R(x.y,=)dxdy

则对坐标的曲面积分存在. • 积分的存在性. 在有向光滑曲面 上 •组合形式. P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ( , , )d d ( , , )d d ( , , )d d         P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ( , , )d d ( , , )d d ( , , )d d      引例中, 流过有向曲面  的流体的流量为  P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ( , , )d d ( , , )d d ( , , )d d .      上连续

性质。 (1)如果把∑分成∑和∑2， 则[Pdyd=+Od-dx+-Rdxdy J∬Pdd止+Od-dx+Rdrd+j∬Pdd+Oded+Rdxdy (2)用∑表示与有向曲面∑相反侧的有向曲面，则 Ptt=-了P4t,Iets=-ot da=-了Rd 说明： ·对坐标的曲面积分必须注意有向曲面所取的侧！

性质. (1) 如果把  分成 P y z Q z x R x y d d d d d d     1 2 P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y d d d d d d + d d d d d d          则 说明: • 对坐标的曲面积分必须注意有向曲面所取的侧 ! (2) 用   表示与有向曲面相反侧的有向曲面 , 则

三、对坐标的曲面积分的计算法 定理：设光滑曲面∑：z=z(x,y),(x,)∈Dy取上侧， R(x,y,z)是∑上的连续函数，则 ∬R(x,)dxdy=J∬Rx,z(x,y)》dxdy n 证： ∬R(x,y,2)ddy=lim∑R(5,n,5,AS)x 2-→0 i=1 ,Σ取上侧，(AS)xy=(Ao)y 51=z(51,7,) lim 2-→0 ∑R(5,7,(5,h)(△o)x i=l R(x,y,=(x,y))dxdy Dx

三、对坐标的曲面积分的计算法 定理: 设光滑曲面 取上侧, 是  上的连续函数, 则 R x y z x y ( , , )d d   ( , , ) D x y  R x y  z(x, y) d xd y 证: 0 lim      n i 1 i xy (S ) i xy ∵ 取上侧  ( ) , ( , ) i i i   z   0 lim      n i 1 ( , , ) R i i ( , ) i i z   i xy ( ) ( , , ( ))d d Dx y  R x y z x, y x y R x y z x y ( , , )d d  