《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十一章 曲线积分与曲面积分 11-6 高斯公式 通量与散度

第之节 第十一章 高斯公式通量与散度 推广 Green公式 Gauss公式 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 *三、通量与散度

第六节 Green 公式 Gauss 公式 推广 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 *三、通量与散度 高斯公式 *通量与散度 第十一章

一、 高斯(Gauss)公式 定理1.设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲 面Σ所围成，∑的方向取外侧，函数P,Q,R在 2上有连续的一阶偏导数，则有 r ∂R dxdydz 2 ∯Pdyd=+-d:dx+RdxdyGau公式 = 下面先证： add:-∯贴y

一、高斯 ( Gauss ) 公式 定理1. 设空间闭区域  由分片光滑的闭曲  上有连续的一阶偏导数 , d d d d d d P y z Q z x R x y      d d d R x y z z     d d R x y    下面先证: 面 所围成, 函数 P, Q, R 在 则有 (Gauss 公式)  的方向取外侧

证明：设2：z1(x,y)≤z(x,y)≤22(x,y),(x,y)∈D 称为Y-型区域，∑=马U2U3,:z=1(x,y), 2:2=2(x,y),则 d,:-刀ad {Rx,y,2x) R.)}dxdy ∯Rxdy=(j∬+∬X)Rdxd ∬Rx,y,22xy)ddy-∬R(x,y(x,)dxd

 2  3 1 z y x Dxy O  R(x, y, )  R(x, y, ) d xd y : ( , ), 1 1  z  z x y 证明: 设 ,   1  2  3 z z z x y R z x y d ( , ) ( , ) 2 1    Dx y   ( , ) 2z x y ( , ) 1z x y R x y d d   Dx y    2   d d d R x y z z     d xd y 1   3  Rd xd y 称为XY -型区域 , : ( , ), 2 2  z  z x y 则 R(x, y, )dxdy Dx y  Dx y   ( , ) 2z x y R(x, y, ( , ))d xdy 1z x y

所以 dxdyd== Rdxdy 若Ω不是Y-型区域，则可引进辅助面 将其分割成若干个Y-型区域，在辅助面 正反两侧面积分正负抵消，故上式仍成立 类似可证 dxdyd:=∯Pdyd dxdyd==∯Qd=dx 三式相加，即得所证Gauss公式： 0( 00.OR )dxd ydz fPdyd-+Qdzdx+Rdxdy

所以 若  不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 正反两侧面积分正负抵消, 故上式仍成立 . 在辅助面 类似可证 d d d Q x y z y     d d d d d d P y z Q z x R x y       d d d P Q R x y z x y z           d d Q z x    d d d P x y z x     d d P y z    三式相加, 即得所证 Gauss 公式： d d d R x y z z     d d R x y   

例1.用Gauss公式计算∯(x-)dxdy+(y-z)xdydz 其中Σ为柱面x2+y2=及平面：=0，z=3所围空间 闭域Ω的整个边界曲面的外侧 解：这里P=(y-)x,Q=0,R=x-y 利用Gauss公式，得 原式=∬y-z)dxdydz j∬ddd-J∬drdyd- =0【tjjd=-

x 3 z 1 y 例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 闭域  的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = P  (y  z)x, Q  0, R  x  y 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 O D xy

例2.利用Gauss公式计算积分 I=[[(x2cosa+ycosB+z"cosy)dS 其中2为锥面x2+y2=2介于：=0及：=h 之间部分的下侧，B,y为法向量的方向角 解：作辅助面 22=h,(x,)∈Dy:x2+y2≤h2,取上侧 记Σ，所围区域为2，则 在马上a=B=5,Y=0 1=(f-Ie2cwa+ycwn-2esras 2)dxdyd=-dxdy

 h z y x O 例2. 利用Gauss 公式计算积分 其中 为锥面 2 2 2 x  y  z 解: 作辅助面 : ,  1 z  h ( , ) : , 2 2 2 x y  Dxy x  y  h 取上侧 1 I (     1  )(x cos y cos z cos )d S 2 2 2      , 0 2 π 在 1上      介于z = 0及 z = h 之间部分的下侧, , ,  为法向量的方向角. 1 记 , 所围区域为 ,则 2 ( )d d d x y z x y z      2 d d Dx y  h x y  1 h

I=2j+)dxdd址-∬左dxdy 利用对称性 =2∬dxdyd止-πh 先二后 =2元2d-元h2=-πh 思考：计算曲面积分，(2+x)dydz-zdxdy,. :z=(x2+y2)介于平面=0及：=2 之间部分的下侧 提示：作取上侧的辅助面∑1：z=2, (x.y)eDxy:x2+y254

y x z 2 y x z 2 O I x y z x y z 2 ( )d d d      利用对称性 2 d d d z x y z    4  π h 2 d d Dx y  h x y 4 2 1   π h   h z 0 2 2  π z dz 4  π h 思考: 计算曲面积分 提示: 作取上侧的辅助面 ( )d d d d , 2     z x y z z x y 介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. : 2,  1 z  ( , ) : 4 2 2 x y  Dxy x  y  2  h z y x O 1 h 先二后一

例3. 设8为曲面z=2-x2-y2,1≤z≤2取上侧，求 I=[(xz+x)dyd=-x'yd=dx-xz'dxdy. 解：作取下侧的辅助面 ∑1：2=1 (x,)EDxy:x2+y2s1 1=月-川 用柱坐标 用极坐标 =Jdxdxd=-(-DJJ(-x2)dxdy -fdofrdrd=-coodofdr 4

O z x y 例3. 3 2 2 2 I x z x y z x yz z x x z x y ( )d d d d d d .       设 为曲面 2 , 1 2 2 2 z   x  y  z  取上侧, 求 解:作取下侧的辅助面 1 : z 1 ( , ) : 1 2 2 x y  Dxy x  y  I      1 1 d d d x y z    ( x )d xd y 2  Dxy   (1)   2π 0 d  1 0 r d r   2π 0 2 cos  d 4 π  用柱坐标 用极坐标  2 1 1 1 Dx y