《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十章 多重积分 10-3 三重积分

第三节 第十章 三重积分 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算

第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 三重积分 第十章

一、三重积分的概念 引例：设在空间有限闭区域2内分布着某种不均匀的 物质，密度函数为p(x,y,)∈C,求分布在2内的物质的 质量M 解决方法：类似二重积分解决问题的思想，采用 “大化小，常代变，近似和，求极限” 可得 M=lim p5,n5)Ay △V 2→0k=1 (5,n,5）

一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想, 采用 ( , , ) i i i i     v  ( , , ) i i i   i v 引例: 设在空间有限闭区域  内分布着某种不均匀的 物质, ( , , ) , x y z C  求分布在  内的物质的 可得   n k 1 0 lim  M  “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 解决方法: 质量 M . 密度函数为

定义.设f(x,y,z),(x,y,2)∈2，若对2作任意分割 △y(i=1,2,.,n),任意取点(5,7,5)∈△y,下列“乘 积和式”极限 存在，则称此极限为函数f(x,y,)在2上的三重积分 dv称为体积元素，在直角坐标系下常写作dxdydz. 性质：三重积分的性质与二重积分相似.例如 中值定理.设f(x,y,z)在有界闭域2上连续，V为2的 体积，则存在(5,7,5)∈2，使得 j∬fx,y,)d=f5,n,s)y

定义. 设 f (x, y,z) , (x, y,z)Ω, 0 1 lim ( , , ) n i i i i k f v        存在, f (x, y,z) f x y z v ( , , )d   dv 称为体积元素, dxdydz. 若对  作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在 上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似.例如 下列“乘 中值定理. 在有界闭域  上连续, 则存在 (,, ) , 使得 f x y z v ( , , )d    f (,, )V V 为 的 体积, 积和式” 极限 记作

二、三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数∫(x,y,z)≥0，并将它看作某物体 的密度函数，通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法： 方法1，投影法（先一后二”》 方法2.截面法（先二后一”)）

二、三重积分的计算 1. 利用直角坐标计算三重积分 方法1 . 投影法 (“先一后二”) 方法2 . 截面法 (“先二后一”) 先假设连续函数 f (x, y,z)  0, 并将它看作某物体 的密度函数 , 通过计算该物体的质量引出下列各计算 方法:

2=22(X,y) 方法1.投影法(“先一后二”) 假设平行于z轴且穿过闭区域Q内部 的直线与闭区域Ω的边界曲面S相交 不多于两点.把闭区域2投影到xOy 面上，得一平面闭区域D, 上下曲面的方程为： D (x.y) S1:z=2(x,y) S2:2=22(x,y)为 过D内任一点(x,y)作平行于z轴的直线，从S穿入从S 穿出，相应的竖坐标为z（x,y)与22(x,y)

方法1. 投影法 (“先一后二”) 假设平行于z轴且穿过闭区域内部 z y x O z=z2(x,y) S2 z2 z S1 1 z=z1(x,y) (x,y) 的直线与闭区域的边界曲面S相交 不多于两点. 把闭区域投影到xOy Dxy . 面上，得一平面闭区域D xy 上下曲面的方程为： 1 1 2 2 : ( , ), : ( , ), S z z x y S z z x y   1 2 ( , ) 过D x y z S S xy内任一点 作平行于 轴的直线，从 穿入从 1 2 穿出，相应的竖坐标为z x y z x y ( , ) ( , ). 与

2=22(x,y) 积分区域Q可表示为： 2={(x,y,2)引(x,y)≤z≤22(x,y) (x,y)∈D} 先计算在三，(x,y),22(x,y)]对z积分 记为F(x,y),即 f(x,y,)d正 (x,y 再计算F(x,y)在闭区域D, 的二重积分，故 ddodo

积分区域可表示为： z y x O z=z2(x,y) S2 z2 z S1 1 z=z1(x,y) (x,y) 1 2     {( , , ) | ( , ) ( , ), x y z z x y z z x y 记为F x y ( , ),即 2 1 ( , ) ( , ) ( , )= ( , , ) . z x y z x y F x y f x y z dz  Dxy ( , ) 再计算F x y D 在闭区域 xy ( , ) }xy x y D  1 2 先计算在[ ( , ), ( , )] , z x y z x y z 对 积分 的二重积分，故 f x y z v ( , , )d   = ( , ) Dxy F x y d  2 1 ( , ) ( , ) = ( , , ) xy z x y z x y D f x y z dz d        

2=22(X,y) 若平面区域D为X-型区域： D={(x,y)川，(x)≤y≤y2(x), a≤x≤b 把二重积分化为二次积分，于是 得到三重积分的三次积分公式：a xy (X,V =2(x) ∬fx,x)dr y=y(x) =rx]✉ 记作a 2(x,y f(x,y,=)d

- 若平面区域D X xy为 型区域： b a z y x O z=z2(x,y) S2 z2 z S1 1 z=z1(x,y) y=y2(x) y=y1(x) (x,y) 1 2 {( , ) | ( ) ( ), D x y y x y y x xy    于是 Dxy a x b   }. 把二重积分化为二次积分， f x y z v ( , , )d     2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) = ( , , )d d d b y x z x y a y x z x y f x y z z y x          得到三重积分的三次积分公式 ： 2 2 1 1 ( ) ( , ) ( ) ( , ) d d ( , , )d b y x z x y a y x z x y x y f x y z z 记作  

例1.计算三重积分 xdxdyd=,.其中2为三个坐标 面及平面x+2y+z=1所围成的闭区域 0≤z≤1-x-2y 解：20≤y≤(1-x) 0≤x≤1 j∬xdxdydz =6xdx0》a-x-2yd =4x-2x2+x= 48

例1. 计算三重积分 x x y z d d d , 其中 为三个坐标   x  2y  z 1 所围成的闭区域 . 解:  : x x y z d d d         (1 ) 0 1 0 2 1 d (1 2 )d x x x x y y  x y z 1 2 0 d     1 0 2 3 ( 2 )d 4 1 x x x x 0  z 1 x  2y 0 (1 ) 2 1  y   x 0  x 1 48 1  面及平面 1 x y z 1 2 1 O

方法2.截面法(“先二后一”) (x,y)∈D a≤z≤b 先计算以D为积分区域，x和y为积分变量 的二重积分，记为F(z),即 F(e)=j∬fx,y,2)dxdy D 再计算F(z)在区间a,b]上的定积分，得到三重积分的公式 f)dxdy)d= nf心，dy

a b 方法2. 截面法 (“先二后一”) 先计算以D x y z为积分区域， 和 为积分变量    b a Dz f (x, y,z)d xd y  Dz b a dz f (x, y,z)dxdy z Dz dz 记作  x y z O 的二重积分，记为F z( ), 即 再计算F z a b ( ) [ , ] 在区间 上的定积分,得到三重积分的公式

例2.计算三重积分 [zdxdydz, 其中2： 3×b3 2 B2+ 3s1. -C≤z≤C 用“先二后一” [=dxdyd:.=2d∬,.dxdy =2xaM1-5 4

x y 例2. 计算三重积分 z 解:  : 2 z x y z d d d        c c z c z 2 z π ab(1 )d 2 2 2  c  z  c 2 2 2 2 2 2 : 1 c z b y a x Dz    Dz d xd y  c c z d z 2 3 π 15 4  abc a b c 用“先二后一 ” Dz z O