《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第十二章 无穷级数 12-4 函数展开成幂级数

第四节 第十二章 品数展开成暴级数 两类问题：在收敛域内 00 幂级数∑anx” 求和 和函数S(x) n=0 展开 本节内容： 一、泰勒(Taylor)级数 二、函数展开成幂级数

第四节 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第十二章

一、泰勒(Taylor)级数 复习：f(x)的n阶泰勒公式 若函数f(x)在xo的某邻域内具有n+1阶导数，则在 该邻域内有： f(x)-f(xo)+f(a)(x-x)+(x-x)? 2 ++x-）”+R,) n! 其中Rn(x)= 05且(x-）)1(5在x与之间 (n+1)月 称为拉格朗日余项

一、泰勒 ( Taylor ) 级数 其中 Rn (x)  (  在 x 与 x0 之间) 称为拉格朗日余项 . 1 0 ( 1) ( ) ( 1)! ( )     n n x x n f  则在 复习: f (x) 的 n 阶泰勒公式 f (x)  f (x0 )  f (x0 )(x  x0 )  2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x   n n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( )   R (x)  n 若函数 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 该邻域内有 :

若函数f(x)在xo的某邻域内具有任意阶导数，则称 )+/-+g- 2 +.+(x-+. n! 为f(x)的泰勒级数. 当xo=0时，泰勒级数又称为麦克劳林级数， 待解决的问题： 1)对此级数，它的收敛域是什么？ 2)在收敛域上，和函数是否为f(x)?

f (x0 )  f (x0 )(x  x0 )  2 0 0 ( ) 2! ( ) x x f x     n  n x x n f x ( ) ! ( ) 0 0 ( ) 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : 若函数 的某邻域内具有任意阶导数

定理1，设函数f(x)在点x的某一邻域U(xo)内具有 各阶导数，则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是f(x)的泰勒公式余项满足：lim R(x)=0 n>0 亚班：=2g-,ciw n-0 -2- f(x)=S,(x)+R,(x) limR,(x)=lim[f(x)-Sn+(x)=0,x∈U(xo） n-→o0 n→

定理1 . 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足: lim ( )  0.  R x n n 证明: ( ) , ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) n n n x x n f x f x      令 ( ) ( ) ( ) 1 f x S x R x  n  n   lim R (x) n n lim ( ) ( ) 1 f x S x n n     0 , ( ) 0 xU x k n k k n x x k f x S x ( ) ! ( ) ( ) 0 0 0 ( ) 1      ( ) 0 xU x 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有

定理2.若f(x)能展成x的幂级数，则这种展开式是 唯一的，且与它的麦克劳林级数相同 证：设f(x)所展成的幂级数为 f(x)=a0+a1x+a2x2+.+anx”+.,xe(-R,R) 则 a0=f(0) f'(x)=a1+2a2x++anx"-1+. a=f'(0) f"(x)=21a2++n-l0an-2+a2=f"(0) fm(x)=nan+. a,=mf() 显然结论成立

定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则 ( ) 2 ; 1 f  x  a1  a2 x  nan x n  (0) 1 a  f  ( ) 2! ( 1) ; 2 f  x  a2  n n  an x n  (0) 2! 1 2 a  f  ( ) ! ; f (n) x  n an  (0) ( ) ! 1 n n n a  f 显然结论成立 . (0) 0 a  f 则这种展开式是

二、函数展开成幂级数 直接展开法一 利用泰勒公式 展开方法 间接展开法一利用已知其级数展开式 的函数展开 1.直接展开法 由泰勒级数理论可知，函数f(x)展开成幂级数的步 骤如下： 第一步求函数及其各阶导数在x=0处的值； 第二步写出麦克劳林级数，并求出其收敛半径R, 第三步判别在收敛区间（一R,R)内lim R(x)是否为 n→0∞ 0

二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知, 函数 f (x)展开成幂级数的步 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim R (x) n n 是否为 骤如下 : 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 0. 的函数展开

例1.将函数f(x)=ex展开成x的幂级数 解：fm(x)=e,fm(0)=1(n=0,l,）,故得级数 1+x+ 3++ n+. 21 31 n 其收敛半径为 R=lim =十00 n->∞ n (n+1)月 对任何有限数x,其余项满足 n+1 R,(x)= n→∞ n+1 (n+1) (5在0与x之间) 故ex=1+x+ 12.13 21 31 ++ +.,X∈(-00，十0)

例1. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: ( ) e , (n) x  f x  (0) 1 ( 0,1, ), f (n)  n   1 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 e (n 1)! n1 x x  e 故 , ! 1 3! 1 2! 1 e 1 x    2  3  x n  n x x x   n R lim ! 1 n ( 1)! 1 n  n  ( 在0与x 之间)  x 2 2! 1  x 3 3! 1  x  x n  n! 1 故得级数

例2.将f(x)=sinx展开成x的幂级数 解：fm(x)=sin(c+n:5)》 mo-i n=2k (k=0,1,2,.） n=2k+1 得级数X-动动x-.+(-22n1+ 其收敛半径为R=+∞，对任何有限数x,其余项满足 sin(+(n+1)) n+l Rn(x)= (n+1)月 n-之,0 (n+1) 22n-1 sinx=x+(-1 x∈(-0，+0）

例2. 将 展开成 x 的幂级数. 解: ( )  ( ) f x n      (0)  (n) f 得级数: x 其收敛半径为 R  , 对任何有限数 x , 其余项满足 sin( ( 1) ) 2 π   n  (n 1)! n1 x n  2k 1 (k  0,1, 2, ) 3 3! 1  x   5 5! 1 x (1) n1 (2n 1 1)! x 2n1   sin x n  n  2k ( 1) , k  0 ,  x  3 1 ! x 3  5 1 ! x 5  (1) n1 (2n 1 1)! x 2n1 

3 sinx=x- 5-+(-1-1.1 2n-1+. X 31 51 (2n-1)月 x∈(-0，+00） 对上式两边求导可推出： x2n+. (2n) x∈(-00，+00）

     n x n  n x x x 2 4 1 2 (2 )! 1 ( 1) 4! 1 2! 1 cos 1 对上式两边求导可推出:          3 5 1 2 1 (2 1)! 1 ( 1) 5! 1 3! 1 sin n n x n x x x x

例3.将函数f(x)=(I+x)”展开成x的幂级数，其中m 为任意常数， 解：易求出f(0)=1,f'(0)=m,f"(0)=m(m-1), fm(0)=m(m-1)(m-2).(m-n+1),. 于是得级数1+mx+ m(m-D+ 21 m(m-1).(m-n+l n! x”+. 由于R=lim an lim n+l =1 n-→0 an+l n-→oo1m-n 因此对任意常数m,级数在开区间（一1,1）内收敛

例3. 将函数 展开成 x 的幂级数, 其中m 为任意常数 . 解: 易求出 f (0) 1, f (0)  m, f (0)  m(m 1) , f (n) (0)  m(m 1)(m  2)(m  n 1) ,  于是得 级数 1 mx    2 2! ( 1) x m m 由于 1 lim    n n n a a R m n n n     1 lim 1        n x n m m m n ! ( 1) ( 1) 因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛