《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）6.3复合求导

第三为 复合求导、隐品数求导及方向导数 一元复合函数y=f(),=j(x) 求导法则 dy dy du dx du dx 本节内容： 多元函数复合求导、隐函数求导 HIGH EDUCATION PRESS

第三节 一元复合函数 求导法则 本节内容: 多元函数复合求导、隐函数求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合求导、隐函数求导及方向导数

一、多元复合函数求导的链式法则 1、中间变量是一元函数 定理1.若函数w=j(),v=y(t在点1可导，z=f(u,v) 在点(u,v)处偏导连续，则复合函数z=f0(),y(t) 在点t可导，且有链式法则 dz du dt Ju dt Iv dt 口诀：分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏 导 HIGH EDUCATION PRESS

一、多元复合函数求导的链式法则 定理1. 若函数 处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数 且有链式法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏 导 1、中间变量是一元函数

推广：设下面所涉及的函数都可微 1)中间变量多于两个的情形.例如，z=f(u,V,w), u=j(),v=y(t),w=w(t)复合得 复合函数z=f()y(),w()] dz=z+2d业+2dw dt u dt Iv dt w dt HIGH EDUCATION PRESS 动 目录

推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, 设下面所涉及的函数都可微 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合得 复合函数

例1.设z=m,1=e,v=cosL,求 dt dz 例2.设z=ln(u+)+e,u=21,v=12,求 di HIGH EDUCATION PRESS 凯动 自录 上页 下方 返回 结球

例1. 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 例2. 设 求

2)中间变量是多元函数的情形 (多元函数与多元函数的复合) 定理2 z=f(u,v),u=j (x,y),v=y (x,y) 复合函数z=(x,)y(x,y)] E=Exux Ix J 9x fv 9x 1=1xux Iy Ju Iy v Ty HIGH EDUCATION PRESS

2) 中间变量是多元函数的情形. （多元函数与多元函数的复合） 定理2. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合函数

例3.设z=e"sinv,=xy,v=x+y,求12， Ix Ty 例4.求2=(3x2+y2)42) 两个偏导数 HIGH EDUCATION PRESS 动 返回 结球

例3. 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 求 两个偏导数

3)中间变量既有一元函数又有多元函数 定理3。 z=f(u,v),u=j (x,y),v=y (y) 复合函数z=fU(x,y)y(y] =xu Tx Tu Tx 12=IExlu 1z,dv Ty Ju Iy v dy HIGH EDUCATION PRESS

3) 中间变量既有一元函数又有多元函数 定理3. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合函数

5.z=e",u=x"sin y,v=cosy 求 11 Ix'Ty 例6.=f(x,y,)=(x-y),u=y,求Ξ Tx'Ty 例7.z=f(sinx,x2-y),f具有一阶连续偏导数 来号 例8.u=f(x十z,xyz),f具有二阶偏导数， 家名 HIGH EDUCATION PRESS 返回 结

例5. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 例6. 求 例7. 求 具有一阶连续偏导数 例8. 具有二阶偏导数， 求

多元复合函数的全微分 设函数z=f(,v),u=j(x,y),y=y(x,y)都可微， 则复合函数z=f0(x,y),y(x,y)的全微分为 dz 1dx+? z dv 当dx+( u+y)dy dy) d 可见无论u,v是自变量还是中间变量，其全微分表达 形式都一样，这性质叫做全微分形式不变性： 拳HIGH EDUCATION PRESS 结球

多元复合函数的全微分 设函数 的全微分为 可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数 都可微, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、 隐函数的求导公式 1、一个方程所确定的隐函数及其导数 2、方程组所确定的隐函数组及其导数 HIGH EDUCATION PRESS 动 上页 返回 结

机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、一个方程所确定的隐函数及其导数 2、方程组所确定的隐函数组及其导数 二、隐函数的求导公式