《高等数学》课程教学资源（PPT课件）5.2平面及其方程

第二节 第五章 平面及其方程 一、 平面的点法式方程 二、 平面的一般方程 三、平面的截距式方程 四、平面与平面、点与平面的关系 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束

第二节 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 四 、平面与平面、点与平面的关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 平面及其方程 第五章 三、平面的截距式方程

一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点M(x,y%,二，)且垂直于非零向 量n=(A,B,C),求该平面Π的方程 任取点M(x,y,z)eⅡ，则有 MM⊥元 故 MoM.n=0 MoM=(x-x0,y-o,2-20) A(x-xo)+B(y-y%)+C(2-2o)=0 称①式为平面Π的点法式方程，称为平面Ⅱ的法向量. HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

 z y x o M0 n ① 一、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 A(x − x0 ) + B(y − y0 ) +C(z − z0 ) = 0 M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z), 法向量. 量 n = (A , B, C), M0M ⊥n M0M n = 0 则有 故 称 n为平面 的 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求过点M(2,3,1)且与n=(-1,-2,0) 垂直的平面Π的方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1.求过点 垂直的平面  的方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且与

例2.求过三点M,(1,-1,-2),M2(-1,2,0),M,(1,3,3) 的平面Π的方程 M M3 M2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2.求过三点 M1 M2 M3 的平面  的方程.  n 机动 目录 上页 下页 返回 结束

说明：一般情况：过三点Mk(xk,yk,k)(k=1,2,3) 的平面方程为 x-为y-片2-21 X2-X1y2-y122-21 =0 3-x13-1 23-21 上述平面的三点式方程也可写成 x-2y+12-4 -3 -6 =0 -23 -1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一般情况 : 过三点 M (x , y ,z ) (k =1,2,3) k k k k 的平面方程为 说明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上述平面的三点式方程也可写成 0 2 3 1 3 4 6 = − − − − x − 2 y +1 z − 4

二、平面的一般方程 设有三元一次方程 Ax+By+Cz+D=0(42+B2+C2#0) ② 任取一组满足上述方程的数x0,0,20,则 Ax0+B0+C20+D=0 以上两式相减，得平面的点法式方程 A(x-x0)+B(y-y0)+C(2-zo)=0 显然方程②与此点法式方程等价，因此方程②的图形是 法向量为=(A,B,C)的平面，此方程称为平面的一般 方程， 為HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 , 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 Ax + By +Cz + D = 0 任取一组满足上述方程的数 , , , 0 0 0 x y z 则 Ax0 + B y0 +C z0 + D = 0 显然方程②与此点法式方程等价, ( 0) 2 2 2 A + B +C  ② n = (A,B,C) 的平面, 因此方程②的图形是 法向量为 方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

Ax+By+Cz+D=0 (A2+B2+C20) 特殊情形 ·当D=0时，Ax+By+Cz=0表示通过原点的平面； ·当A=0时，By+Cz+D=0的法向量=(0，B,C)1元 平面平行于x轴， ·Ax+Cz+D=0表示平行于y轴的平面 ·Ax+By+D=0表示平行于z轴的平面， ·Cz+D=0表示平行于xOy面的平面 ·Ax+D=0表示平行于02面的平面； ·By+D=O表示平行于zox面的平面 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 上页下页返回结束

特殊情形 n = (0,B,C)  • 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示通过原点的平面; • 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 平面平行于 x 轴; • A x+C z+D = 0 表示 • A x+B y+D = 0 表示 • C z + D = 0 表示 • A x + D =0 表示 • B y + D =0 表示 Ax + By +Cz + D = 0 ( 0) 2 2 2 A + B +C  平行于 y 轴的平面; 平行于 z 轴的平面; 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的法向量 i  ⊥

例3.求通过x轴和点(4，-3，-1)的平面方程 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

三、平面的截距式方程 例4设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a,0,0)小 Q(0,b,0)八、R(0,0,c),求此平面的方程(a≠0，b≠0，c≠0) HIGH EDUCATION PRESS

例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、 Q(0, b, 0)、R(0, 0, c), 求此平面的方程(a0, b0, c0). 三、平面的截距式方程

四、平面与平面、点与平面的关系 1、两平面的夹角 两平面法向量的夹角（常为锐角）称为两平面的夹角 设平面的法向量为元=(A,B,C) 平面的法向量为2=(A2,B2,C2) 则两平面夹角的余弦为 cos0= 1 即 4 42 B B2 CiC2 cos0= V4+B2+C2V42+B22+C22 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

1、两平面的夹角 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 cos = 即 A1A2 + B1B2 +C1C2 2 2 2 2 2 A2 + B +C 2 1 2 1 2 A1 + B +C 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 1 2  n2 n1  ( , , ) n1 = A1 B1 C1 ( , , ) n2 = A2 B2 C2 1 2 1 2 cos n n n  n  = 机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、平面与平面、点与平面的关系