《高等数学》课程教学资源（导学单）第八章向量代数与空间解析几何_8-5曲面及其方程

教学基本指标 教学课题第八章第五节 曲面及其方程 课的类型新知识课 教学重点二次曲面的方程及其图形 教学难点曲线的投影 大纲要求 1理解曲面方程的概念， 2了解常用二次曲面的方程及其图形，掌握常用曲面及方程， 3.掌握以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程 教学基本内容 1、 曲面方程的概念如果曲面，S与三元方，程F(x，)=0满足下列关系 (1)曲面S上的任一点的坐标都满足方程： (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程，则称F(x,y,)=0为曲面S的方程，而曲 面S称为方程F(xy,)=0的图形 2、旋转曲面一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这 条定直线就叫做旋转曲面的轴 设在)0：坐标面上有一已知曲线L:∫（，）=0，将L绕：轴旋转就得到一个以：轴为旋 转轴的旋转曲面Sf±Vx2+y少，=0. 3、柱面 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面。其中定曲线C称为柱面 的准线，动直线L称为柱面的母线。 一般地，设有一柱面，准线是xOy面上的曲线C F(x.)=0 2=0 则其方程为 F(x,y)=0 +若-1-1，-2-0分表示线平行于：的用 例如，方程 面、双曲柱面和抛物柱面。 4、二次曲面

1 教 学 基 本 指 标 教学课题 第八章 第五节 曲面及其方程 课的类型 新知识课 教学重点 二次曲面的方程及其图形 教学难点 曲线的投影 大纲要求 1.理解曲面方程的概念， 2.了解常用二次曲面的方程及其图形，掌握常用曲面及方程， 3.掌握以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程. 教 学 基 本 内 容 1、曲面方程的概念 如果曲面， S 与三元方，程 F x y z ( , , 0 ) = 满足下列关系： （1）曲面 S 上的任一点的坐标都满足方程； （2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程，则称 F x y z ( , , 0 ) = 为曲面 S 的方程，而曲 面 S 称为方程 F x y z ( , , 0 ) = 的图形. 2、旋转曲面 一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这 条定直线就叫做旋转曲面的轴. 设在 yOz 坐标面上有一已知曲线 L f y z : , 0 ( ) = ，将 L 绕 z 轴旋转就得到一个以 z 轴为旋 转轴的旋转曲面 S: ( ) 2 2 f x y z  + = , 0 . 3、柱面 平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 形成的轨迹叫做柱面. 其中定曲线 C 称为柱面 的准线，动直线 L 称为柱面的母线. 一般地，设有一柱面，准线是 xOy 面上的曲线 C ( , ) 0 0 F x y z  =   = ， 则其方程为 F x y ( , ) 0 = 例如，方程 1, 1, 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + = − = x − py = b y a x b y a x 分别表示母线平行于 z 轴的椭圆柱 面、双曲柱面和抛物柱面. 4、二次曲面

我们将三元二次方程所表示的曲面就叫做二次曲面。 几种常见的曲面方程 ①)球面 以P(x,o,二)为球心，R为球半径的球面方程为 (x-x)2+0y-)》2+(e-)2=R2 (2柱面 设一个圆柱面的母线平行于：轴，准线C是在xOy坐标面上的以原点为圆心，R为 半径的圆，即准线C在xOy坐标面上的方程为x2+y2=R2,其圆柱面方程为 x2+y2=R2 (3)锥面 顶点在原点，对称轴为：轴的圆锥面方程为 2=k2(x2+y2)(k≠0为常数) ()椭圆抛物面 椭圆抛物面方程为 x2 ， 当a=b时，原方程化为x2+y2=:,它由抛物线绕z轴旋转而成，称为旋转抛物面 (⑤)椭球面 椭球面方程为 x2 y2 22 +6+ =1(a>0,b>0,c>0), 此外还有（了解） 双曲抛物面（马鞍面） 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面）

2 我们将三元二次方程所表示的曲面就叫做二次曲面. 几种常见的曲面方程： ⑴ 球面 以 ( , , ) 0 0 0 0 P x y z 为球心， R 为球半径的球面方程为 2 2 0 2 0 2 0 (x − x ) + ( y − y ) + (z − z ) = R . ⑵ 柱面 设一个圆柱面的母线平行于 z 轴，准线 C 是在 xOy 坐标面上的以原点为圆心， R 为 半径的圆，即准线 C 在 xOy 坐标面上的方程为 2 2 2 x + y = R ，其圆柱面方程为 2 2 2 x + y = R . ⑶ 锥面 顶点在原点，对称轴为 z 轴的圆锥面方程为 ( ) ( 0 ) z 2 = k 2 x 2 + y 2 k  为常数 . ⑷ 椭圆抛物面 椭圆抛物面方程为 2 2 2 2 z b y a x + = , 当 a = b 时，原方程化为 x + y = z 2 2 ，它由抛物线绕 z 轴旋转而成，称为旋转抛物面. ⑸ 椭球面 椭球面方程为 1 ( 0 , 0 , 0) 2 2 2 2 2 2 + + = a  b  c  c z b y a x , 此外还有（了解） 双曲抛物面（马鞍面） 双曲面（单叶双曲面，双叶双曲面）

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