《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第七章 多重积分的概念、计算及应用

第七章 多元品数积分学 一元函数积分学 重积分 多元函数积分学{曲线积分 曲面积分

第七章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 多元函数积分学

第一节 二重积分的桡念、计算和应用 一、二重积分的概念和性质 二、二重积分的计算 三、二重积分的应用 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录 下页返回结束

三、二重积分的应用 第一节 一、二重积分的概念和性质 二、二重积分的计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念、计算和应用

、二重积分的概念和性质 柱体体积=底面积×高 特点：平顶 f(x,v 柱体体积=？ 特点：曲顶 HIGH EDUCATION PRESS

柱体体积=底面积× 高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. 一、二重积分的概念和性质

1、曲顶柱体的体积 z=f(x,y) 给定曲顶柱体 底：xOy面上的闭区域D J顶：连续曲面z=f(x,y)30 侧面：以D的边界为准线，母线平行于z轴的柱面 问题：求其体积 解法：类似定积分解决问题的思想： “分割，近似，求和，取极限” HIGH EDUCATION PRESS

解法: 类似定积分解决问题的思想: 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 问题：求其体积. “分割, 近似, 求和, 取极限” 1、曲顶柱体的体积

1)分割 用任意曲线网分D为n个区域 z=f(x,y) D51,D52,L,D s n 以它们为底把曲顶柱体分为n个 小曲顶柱体 fh) 2)近似” (c,h） Ds, 在每个D,中任取一点 c,h),则 DV>f(,h)Ds (i=1,2,L n) 3)“求和” V=aD》afx,h,)Ds =1 i=1 HIGH EDUCATION PRESS 机动 下页 返回 结束

1)“分割” 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“近似” 在每个 3)“求和” 中任取一点 则 小曲顶柱体 机动 目录 上页 下页 返回 结束

“取极限” 定义Ds的直径为 1 (Ds)=max{RB B.Pi Ds: 令 1=max{(Ds 1fi￡n V=lima f(,h,)Ds 1®0 =1 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录

4)“取极限” 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2、二重积分的定义 定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D 任意分成n个小闭区域 Ds 1.Ds 2L Ds 其中D5,表示第个小闭区域，也表示它的面积在每个 Ds,上任取一点c,h:),作乘积 fc,h,Ds,=1,2,3L,n), 并作和af(c;h,)Ds,如果当各小闭区域的直径中的最 l 大值1®O时，这和的极限存在，则称此极限 毫HIGH EDUCATION PRESS

极限 有界函数 2、二重积分的定义 定义:

为函数x,y)在闭区域上的二重积分 ,记作 1=m 记作 ®0 oof(x,y)ds =1 积分和 积分表达式 f(x,y)ds x,y称为积分变量 积分域 被积函数 面积元素 也称f(x,y)可积 HIGH EDUCATION PRESS

可积 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 为函数f(x,y)在闭区域上的 二重积分 ，记作

几点说明 (1) 如果f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y) 在D上一定可积。（二重积分存在定理） (2) 如果f(x,y)在D上可积，则该积分与D 的分法和分点(x:,h:)的取法无关， 因此，在直角坐标系中，用平行于x轴和y轴的 两组直线分割D,如图所示 Ds i=DxiDyi, ds =dxdy òdf(x,y)ds=òf(x,)dxdy 学HIGH EDUCATIO}PRESS

（1）如果 f ( x , y ) 在有界闭区域D上连续，则 f ( x , y ) 在D上一定可积。（二重积分存在定理） （2）如果 f ( x , y ) 在D 上可积，则该积分与D 因此，在直角坐标系中，用平行于 x 轴和 y 轴的 两组直线分割 D ，如图所示 的分法和分点 的取法无关， 几点说明

(3)几何意义： 当f(x,y)口0时，二重积分表示曲顶柱体的体积： n V=lim f(xi,hi)Ds i=(x,)ds 1®0i=1 D 当f(x,y)口0时，此时曲顶柱体位于x0y平面的 下方，且二重积分的值也为负，故二重积分表示的是 曲顶柱体体积的相反数。 当f(x,y)在D上有正有负，此时将xoy面上方的 曲顶柱体体积取为正，x0y面下方的曲顶柱体体积取 为负，则f(x,y)在D上的二重积分即为这些曲顶 柱体体积的代数和。 HIGH EDUCATION PRESS

（3）几何意义： 当 f ( x , y ) ￾ 0 时，二重积分表示曲顶柱体的体积； 当 f ( x , y ) ￾ 0 时，此时曲顶柱体位于 x 0 y 平面的 下方，且二重积分的值也为负，故二重积分表示的是 曲顶柱体体积的相反数。 当 f ( x , y ) 在 D 上有正有负，此时将 x o y 面上方的 曲顶柱体体积取为正，x o y 面下方的曲顶柱体体积取 为负，则 f ( x , y ) 在 D 上的二重积分即为这些曲顶 柱体体积的代数和