《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章_8-4空间直线及其方程

第四节 第八章 空间直线及其方程 、 空间直线的一般方程 空间直线的对称式方程与参数方程 三、 两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、杂例 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第四节 机动 目录 上页 下页 返回 结束 空间直线及其方程 第八章 一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、杂例

一、空间直线方程 1.一般式方程 直线可视为两平面交线，因此其一般式方程 A1x+By+Cz+D=0 A2x+B2y+C22+D2=0 (不唯一) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

一、空间直线方程 x y z o 0 A1 x + B1 y +C1 z + D1 = 1 2 L 因此其一般式方程 1. 一般式方程 直线可视为两平面交线， (不唯一) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

2.对称式方程 已知直线上一点4o(x0,0,0)和它的方向向量 3=(m,n,p),设直线上的动点为M(x,y,z) 则 MoM1∥s M(x,y,2) 故有 x-x0=y-y0=-0 m 之 M(xo,y0,20） 此式称为直线的对称式方程（也称为点向式方程 说明：某些分母为零时，其分子也理解为零 例如，当m=n=0,p≠0时，直线方程为 x=X0 y=Yo 直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的 驾方向数。园的方向余弦叫做该直线的方向余弦

( , , ) 0 0 0 0 M x y z 2. 对称式方程 故有 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. m x x − 0    = = 0 0 y y x x 设直线上的动点为 则 M (x, y,z) n y y − 0 = p z z − 0 = 此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 直线方程为 s 已知直线上一点 ( , , ) 0 0 0 0 M x y z M (x, y,z) 例如, 当 m = n = 0, p  0 时, 和它的方向向量 直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的 一组方向数. 向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦

3.参数式方程 x-x0=y-0=2-0=i 设 m n p 得参数式方程 x=xo+mt y=yo+nt 2=20+p1 HIGH EDUCATION PRESS OeOC①8 机动目录上页下页返回结束

3. 参数式方程 设 得参数式方程 : t p z z n y y m x x = − = − = − 0 0 0 x = x + mt 0 y = y + nt 0 z = z + pt 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.用对称式及参数式表示直线 x+y+z+1=0 2x-y+3z+4=0 解：先在直线上找一点. 令x=1,解方程组 站-6得)=0，=2 故(1,0，-2)是直线上一点 再求直线的方向向量， 过已知直线的两平面的法向量为%1=(1,1,1)， :s⊥元，sLm2 n2=(2,-1,3) .可以取s=n1×n2日 111 =(4,-1,-3) 2-1 3 2+2 故所给直线的对称式方程为 HIGH EDUCATION PRESS

例1.用对称式及参数式表示直线 . 解: 先在直线上找一点. 3 6 2 − = + = − y z y z 再求直线的方向向量 令 x = 1, 解方程组 ,得 y = 0, z = −2 过已知直线的两平面的法向量为 是直线上一点 . s . 1 n2  s ⊥ n ,s ⊥ = (4,−1,−3) 故所给直线的对称式方程为

故所给直线的对称式方程为 x-1 y z+2 4 一1 3 x=1+41 参数式方程为 y=-t z=-2-31 解题思路：先找直线上一点： 再找直线的方向向量， HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

故所给直线的对称式方程为 参数式方程为 = t 4 x −1 −1 = y 解题思路: 先找直线上一点; 再找直线的方向向量. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、线面间的位置关系 1.两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角（锐角或直角）叫做两直线的夹角 设直线L,L,的方向向量分别为 S=(h,h1,p1),S2=(m2,n2,p2) 则两直线夹角0满足 cos0 Hcos(s1,S2)川 mim2 +nn2 Pip2 m2+m2+p2Vm2+n2+P 】 HIGH EDUCATION PRESS 动目录上页下页返回结束

L2 L1  二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角 则两直线夹角  满足 1 2 设直线 L , L = 两直线的方向向量的夹角(锐角或直角)叫做两直线的夹角. 的方向向量分别为 m1m2 + n1n2 + p1 p2 2 1 2 1 2 1 m + n + p 2 2 2 2 2 2 m + n + p 1 2 1 2 cos s s s  s  = 1 s 2 s 机动 目录 上页 下页 返回 结束 cos |cos( , )| 2 ^ 1  = s s

特别有：两直线垂直与平行的条件 (1)1L2sL32=S·82=0 > 1mm2+n1n2+p1p2=0 (2)Z111123/52×3,=0 %1=4=P1 m2 n2 P2 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

特别有: 1 2 (1) L ⊥ L 1 2 (2) L // L m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 2 1 2 1 2 1 p p n n m m = = 1 2 s ⊥ s 1 2 s //s 机动 目录 上页 下页 返回 结束 s1 s2 = 0 s1  s2 = 0 两直线垂直与平行的条件

例2.求以下两直线的夹角 x-1y2+3 x v+2 -41 -2 解：直线L的方向向量为S1=(1,-4,1) 直线L的方向向量为52=(2，-2，-1) 二直线夹角0的余弦为 1×2+(-4)×(-2)+1×(-1) C0S0= V12+(-42+12V22+(-2)2+(-1)2 2 从而 0= 4 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 求以下两直线的夹角 解: 直线 直线 二直线夹角 的余弦为 2 1 2 2 : 2 − = − + = x y z L cos = 从而 4   = 的方向向量为 的方向向量为 (2, 2, 1) s2 = − −  1 2 + (−4)(−2) +1(−1) 2 2 2 1 + (−4) +1 2 2 2 2 + (−2) + (−1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例2※.求以下两直线的夹角 x+y+2=0 1-4 x+2z=0 解：直线L的方向向量为S=1,-4,1) 直线L,的方向向量为32=110 =(2,-2,-1) 102 二 直线夹角0的余弦为 1×2+(-4)×(-2)+1×(-1) cos= V12+(-4)2+12V22+(-2)2+(1)2 2 π 从而 0= 4 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2※. 求以下两直线的夹角 解: 直线 直线 二直线夹角 的余弦为    + = + + = 2 0 2 0 : 2 x z x y L cos = 从而 4   = 的方向向量为 的方向向量为 = (2, − 2, −1) 1 2 + (−4)(−2) +1(−1) 2 2 2 1 + (−4) +1 2 2 2 2 + (−2) + (−1) 1 0 2 2 1 1 0 i j k s = 机动 目录 上页 下页 返回 结束