《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章_D9_4复合求导

第四节 第九章 多无复合画数的求导法则 元复合函数y=f(u),u=p(x) 求导法则 dydy du dx du dx 微分法则 dy=f(u)du=f(u)o'(x)dx 本节内容： 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第四节 一元复合函数 求导法则 本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 第九章

一、多无复合函数求导的链式法则 一元函数与多元函数复合（中间变量是一元函数） 定理1.若函数u=p(t),v=t)在点1可导，z=f(u,y) 在点(，v)处偏导连续，则复合函数z=f(o(t),y() 在点t可导，且有链式法则 dz Oz du,0z dv dt Ou dt Oy dt 口诀：分段用乘，分叉用加，单路全导，叉路偏导 证明 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束

一、多元复合函数求导的链式法则 定理1. 若函数 z = f (u,v) 处偏导连续, 在点 t 可导, t v v z t u u z t z d d d d d d     +   = z 则复合函数 且有链式法则 u v t t 机动 目录 上页 下页 返回 结束 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 •一元函数与多元函数复合 （中间变量是一元函数） 证明

推广：设下面所涉及的函数都可微 1)中间变量多于两个的情形 例如，z=f(u,y,1w),=p(t),v=V(t),1w=0(t) 复合得复合函数 2=f[o(t),yw(t),o(t)] dz 0z du,0z dv,0z dw dt Ou dt'Ov dt'ow di HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

推广: 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z = f (u,v,w) , 设下面所涉及的函数都可微 . = t z d d z u v w t t t t u u z d d    t v v z d d    + t w w z d d    + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 u = (t), v = (t), w = (t) 复合得复合函数 z = f[(t),(t),(t)]

2)中间变量是多元函数的情形 (多元函数与多元函数的复合) 定理2.z=f(u,),u=p(x,y),v=Ψ(x,y) 复合函数 z=f[o(x,y),v(x,y)] OzOz Ou,Oz Ov Ox Ou ax Bv Ox 0z0z Ou,0z Ov dy Ou ay Ov ay HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

2) 中间变量是多元函数的情形. （多元函数与多元函数的复合） 定理2. z = f (u,v) , u = (x, y), v = (x, y) =   x z =   y z z u v x y x y x u u z      x v v z      + y u u z      y v v z      + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合函数 z = f[(x, y),(x, y)]

3)其他情形 定理3.二=f(4,),u=p(xy),v=W(y 复合函数 z=f[0(x,y),y(y)] 0z0z Ou 8x Ou 8x 0z Oz Ou,0z dv Oy Ou ay'Bv dy HIGH EDUCATION PRESS ◆0C08 机动目录上页下页返回结束

3) 其他情形 定理3. z = f (u,v) , u = (x, y), v = (y) =   x z =   y z z u v x y y x u u z      y u u z      y v v z d d    + 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合函数 z = f[(x, y),(y)]

又如：z=f(x,),v=W(x,y) 复合函数二=[x,W(x,y)] f of bv Ox Ov Ox Ov a 0y 注意： 这里 8与 f 不同 表示在复合函数z=f儿x,w(x,y)中固定y对x求导； 表示在z=(x,)固定v对x求导 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

又如： z = f (x,v), v = (x, y) x z   y z   z = f x x y 注意: 这里 x z   x f   x z   表示在复合函数 x f   表示在 x f   = 与 不同, v 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合函数 z = f[x,(x, y)] z = f[x,(x, y)] 中固定 y 对 x 求导； z = f (x,v) 固定v 对 x 求导

例1.设z=e"sinv,u=xy,v=x+y,求 Da 0z Ox'ay 解： 0z Oz Ou 8z Ov 0x Ou Ox "Ov Ox =e"sinv.y+e“cosv.l =e*[y.sin(x+y)+cos(x+y)] 02 Oz Ou,0z Ov 1 Oy Ou 8y'Ov Oy e"sinv .x +e"cosv .1 =e*[x.sin(x+y)+cos(x+y)] HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例1. 设 z e sin v, u xy , v x y , u = = = + , . y z x z     求 解: x z   e v u = sin y z   e v u = sin x v v z      + e v u + cos y v v z      + e v u + cos 1 1 z u v x y x y 机动 目录 上页 下页 返回 结束

刚2.u=f(x,y)=e+y+3,=xsny,求，测 Ox'Oy 解 au_∂f,of Oz Ox 8x'0z Ox =2e+y*+22e*4)4:2xsny =2x(1+2x2sin2 y)esiy _f+[.胆 8yay Bz by =2e2+y2++22e2+y2.x2coy =2(+xsinycosy)sin2y HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. ( , , ) , sin , 2 2 2 2 u f x y z e z x y x y z = = = + + y u x u     求 , 解: x u   2 2 2 2 x y z xe + + = x y x y x x y e 2 2 4 2 2 2 sin 2 (1 2 sin ) + + = + x y z x y u y u   2 2 2 2 x y z ye + + = x y x y y x y y e 2 2 4 2 4 sin 2( sin cos ) + + = + x f   = 2 2 2 2 x y z ze + + + y f   = y z z f      + 2 2 2 2 x y z ze + + +  2 xsin y x cos y 2  机动 目录 上页 下页 返回 结束

例3.设z=uw+sint,u=e',v=cost,求全导数 dt 解 d正_Oz du Oz dv z dt ou dt'av dt Ot =ve-usint cos t =e'(cost-sint)+cost 注意：多元抽象复合函数求导 问题的求导技巧与常用导数符号 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例3. 设 z = uv + sint , . d d t z z u v t t t t z d d t = v e e t t t t = (cos − sin ) + cos t u u z d d    = t z   + u = e t , v = cost , 求全导数 解: + cost 注意：多元抽象复合函数求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 问题的求导技巧与常用导数符号

例4.设w=f(x+y+2,xy2),f具有二阶连续偏导数 求0w2w 0x'8x0z w,f,乃 解：令u=x+y+z,V=xyz,则 w=f(u,v) O x=1+乃片 =+y2分 82w 0x02 =M+xy+yf+yz[1+xy =+x+)位+xyz2+y约 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

为简便起见 , 引入记号 , , 2 1 12 u v f f u f f     =    = 例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, 求 , . 2 x z w x w      解: 令 u = x + y + z , v = xyz, x w   w u v x y z x y z w = f (u, v) + f   yz 2 2 + y z f  则 x z w    2 22 2 2 11 12 = f  + y(x + z) f  + xy z f  + y f  + f   xy 12 + f   x y 221 2 , f  , f  机动 目录 上页 下页 返回 结束