《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章_D9_8极值与最值

第八节 第九章 多无品数的极值及其求法 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第九章 第八节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值及其求法

一、多元函数的极值 定义：若函数z=f(x,y)在点(xo,yo)的某邻域内有 f(x,y)≤f(xo,yo)(或f(x,y)≥f(xo,yo) 则称函数在该点取得极大值极小值).极大值和极小值 统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点 例如： z=3x2+4y2在点(0,0)有极小值 z=-√x2+y2在点(0,0)有极大值 z=xy在点(0,0)无极值 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束

x y z 一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 x y z x y z 机动 目录 上页 下页 返回 结束

定理1（必要条件）函数z=f(x,y)在点(x,yo)存在 偏导数，且在该点取得极值，则有 f(x0,o)=0,f5(xoy0)=0 证：因z=f(x,y)在点(，yo)取得极值，故 z=f(x,yo)在x=x取得极值 z=f(xo,y)在y=yo取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 >极值点的几何意义： 若曲面z=f(xy在点(x,yo,处有切平面，则切平面 z-z0=f(x0,yo)x-0)+f(x0,0)y-yo) 即 2-20=0 切平面/xoy面或切平面是水平的 HIGH EDUCATION PRESS

定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. ( , ) 0 , ( , ) 0 f x  x0 y0 = f y  x0 y0 = 取得极值 , 取得极值 取得极值 且在该点取得极值, 则有 存在 故 ➢ 极值点的几何意义： 若曲面 z=f (x,y) 在点 处有切平面，则切平面 即 切平面//xoy 面 或切平面是水平的

定理1（必要条件）函数z=f(x,y)在点(xo,yo)存在 偏导数，且在该点取得极值，则有 f(x0,y0)=0,f(xy0)=0 说明：·使函数的各偏导数都为0的点，称为驻点 ·Th1-具有偏导数的函数的极值点必定是驻点： 。 但驻点不一定是极值点。 例如，z=xy有驻点(0,0)，但在该点不取极值 HIGH EDUCATION PRESS

说明：• 使函数的各偏导数都为0的点，称为驻点. • Th1-具有偏导数的函数的极值点必定是驻点； 例如, 有驻点( 0, 0 )，但在该点不取极值. 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 且在该点取得极值 , 则有 存在 • 但驻点不一定是极值点

定理2（充分条件）若函数：=f(x,y)在点(x,y0)的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 fx(x0,0)=0,f(x0,0)=0 令A=fxx(0,o),B=fx(0,0),C=fy(x0,o） A0时，具有极值 A>0时取极小值 2)当AC-B2<0时，没有极值 3)当AC-B2=0时，不能确定，需另行讨论 证明见第九节P122) HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A0 时取极小值. 2) 当 3) 当 证明见 第九节(P122) . 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 z = f (x, y) 在点(x0 , y0 )的 ( , ) 0 , ( , ) 0 f x x0 y0 = f y x0 y0 = ( , ) , ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 A f x y B f x y C f x y = x x = x y = y y 0 2 AC − B  0 2 AC − B  0 2 AC − B = 机动 目录 上页 下页 返回 结束

例1.求函数f(x,y)=x3-y3+3x2+3y2-9x的极值， 解：第一步求驻点 ∫x(x,y)=3x2+6x-9=0 解方程组 f(x,y)=-3y2+6y=0 得驻点：(1,0)，(1,2)，(-3,0)，-3,2) 第二步判别.求二阶偏导数 B x(xy)=6x+6,(xy)=0,寸(x,y)=-6y+6 在点(1,0)处A=12,B=0,C=6, AC-B2=12×6>0,A>0, .f(1,0)=-5为极小值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 页下页返回结

例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 A B C 的极值. 求二阶偏导数 f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, xy f (x, y) = −6y + 6 y y 12 6 0, 2 AC − B =   A  0, 机动 目录 上页 下页 返回 结束

在点(1,2)处A=12,B=0,C=-6 4C-B2=12×(6)0,A<0, f(-3,2)=31为极大值 fxx(x,y)= 6x+6,fx(x,y)=0,y(,)=-6y+6 A B HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

在点(−3,0) 处 不是极值; 在点(−3,2) 处 为极大值. f (x, y) = 6x + 6, xx f (x, y) = 0, xy f (x, y) = −6y + 6 y y 12 6 0, 2 AC − B = −   12 ( 6) 0, 2 AC − B = −  −  A  0, 在点(1,2) 处 12 ( 6) 0, 不是极值; 2 AC − B =  −  A B C 机动 目录 上页 下页 返回 结束

求极值的步骤 fx'(xoyo)=0 第一步解方程组 fy'(xo-Yo)=0 得一切驻点 和偏导数不存在的点 第二步 对所求的驻点(xo,),求出二阶偏导数 fx(x0,y%人f(x0,%)和f(xo,yo) 第三步 定出AC-2的符号，由充分条件定理判定 f(x,)是否是极值，是极大值还是极小值。 ·极值点可能在驻点或使偏导数不存在的点中产生。 注意：z=x2+y2在点(0,0)偏导数不存在， HIGH EDUCATION PRESS 但有极小值

求极值的步骤 第一步 解方程组 '( , ) 0 '( , ) 0 0 0 0 0 = = f x y f x y y x 得一切驻点 第二步 对所求的驻点 ( , ), 0 0 x y 求出二阶偏导数 ( , ) ( , ) 0 0 '' 0 0 '' f x y f x y xx 、 xy ( , ) 0 0 '' f x y 和 yy ( , ) . 0 0 是否是 ，是极大值还是极小值 第三步 定出 的符号，由充分条件定理 判定 f x y 极值 AC−B2 和偏导数不存在的点 在点 (0,0) 偏导数不存在， 但有极小值。 注意： • 极值点可能在驻点或使偏导数不存在的点中产生

例2讨论函数z=x3+y3及z=(x2+y2)2在点0,0) 是否取得极值 解：显然(0,0)都是它们的驻点，并且在(0,0)都有 AC-B2 =0 Z= 3+y3在(0,0)点邻域内的取值 正 可能为 负 ,因此z(0,0)不是极值 0 当x2+y2≠0时，=(x2+y2>>00=0 因此z0,0)=(x2+y2)20.0)=0为极小值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2.讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z (0,0) 不是极值. 因此 0 , 当x 2 + y 2  时 2 2 2 z = (x + y ) 0  z (0,0) = 为极小值. 正 负 0 在点(0,0) x y z o 并且在 (0,0) 都有 可能为 机动 目录 上页 下页 返回 结束

二、最值应用问题 依据 函数f在闭域上连续 ↓ 函数f在闭域上可达到最值 内部最值点一驻点 最值可疑点 边界上的最值点 假定函数在D上连续、在D的内部可微且有有限个驻点 如果函数在D的内部取最值，则它也是函数的极值， 并且一定在某个驻点上取得。 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束

内部最值点 二、最值应用问题 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 依据 机动 目录 上页 下页 返回 结束 • 假定函数在D上连续、在D 的内部可微且有有限个驻点， 如果函数在D 的内部取最值，则它也是函数的极值， 并且一定在某个驻点上取得。 • 最值可疑点    边界上的最值点 驻点