《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章_D9_1基本概念

第九章 多无品款批分法 及其方用 一元函数微分学 推广 多元函数微分学 注意：善于类比，区别异同

推广 第九章 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分法 及其应用

第一节 第九章 一、平面点集 区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

第一节 第九章 一、平面点集 区域 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的基本概念

一、 平面点集区域 1.平面点集 坐标平面上具有某种性质的点的集合，称为平面点集 ,记作 E={x,y川化，y)具有性质P} 提示： 集合R2=RxR={x,yr,yER}表示坐标平面 HIGH EDUCATION PRESS

提示： 集合R2=RR={(x y)|x yR}表示坐标平面 一、平面点集 区域 1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集  记作 E={(x y)| (x y)具有性质P}

一、平面点集区域 1.平面点集 坐标平面上具有某种性质的点的集合，称为平面点集 ,记作 E={x,y川(x,y)具有性质P. 例如，平面上以原点为中心、为半径的圆内所有点的 集合是 C={(x,y)x2+y2<r2,C={P OP<r). 其中P表示坐标为x,y)的点，IOP表示点P到原点O的距离 HIGH EDUCATION PRESS

一、平面点集 区域 1.平面点集 坐标平面上具有某种性质P的点的集合 称为平面点集  记作 E={(x y)| (x y)具有性质P} 例如 平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的 集合是 C={(x y)| x 2+y 2<r 2} 或C={P| |OP|r} 其中P表示坐标为(x y)的点 |OP|表示点P到原点O的距离

2.邻域：点集U(P,δ)={P|PPo<δ 称为点P。的δ邻域 0Po,⊙ 例如，在平面上， U(乃，δ)={《x,y)V(x-xo)2+(y-yo)2<8(圆邻减) 在空间中， U(B,8)={《(x,y,2V(x-xo)2+(0y-0)2+(2-z0)2<δ} 球邻域 说明：若不需要强调邻域半径δ，也可写成U() 点P的去心邻域记为U(P)={P0<PP<δ} HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

0 δ  PP0  2. 邻域: 点集 称为点 P0 的邻域. 例如,在平面上, U( P0 ,δ ) = (x, y)  (圆邻域) 在空间中, U( P0 , ) = (x, y,z)  (球邻域) 说明：若不需要强调邻域半径 ,也可写成 ( ). U P0 点 P0 的去心邻域记为 δ PP0  机动 目录 上页 下页 返回 结束

在讨论实际问题中也常使用方邻域，因为方邻域与圆 邻域可以互相包含 HIGH EDUCATION PRESS e0C①8 机动目录上页下页返回结束

在讨论实际问题中也常使用方邻域, 。 P0 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. 机动 目录 上页 下页 返回 结束

3.区域 (1)内点、外点、边界点 设有点集E及一点P: ·若存在点P的某邻域乙U(P)cE, 则称P为E的内点； 若存在点P的某邻域UP)nE=O 则称P为E的外点， ·若对点P的任一邻域UP)既含E中的内点也含E 的外点，则称P为E的边界点 E的边界点的全体称为E的边界，记为E 显然E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的 边界点可能属于E,也可能不属于E HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3. 区域 (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P : • 若存在点 P 的某邻域 U(P) E , • 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E =  , • 若对点 P 的任一邻域 U(P) 既含 E中的内点也含 E E 则称 P 为 E 的内点； 则称 P 为 E 的外点 ; 则称 P 为 E 的边界点 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的外点 , 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的 边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . E的边界点的全体称为E的边界，记为 E

(2)聚点 若对任意给定的δ，点P的去心 邻域U(P,δ)内总有E中的点，则 称P是E的聚点 HIGH EDUCATION PRESS DeOC①8 机动目录上页下页返回结束

(2) 聚点 若对任意给定的 , 点P 的去心 机动 目录 上页 下页 返回 结束 E 邻域 内总有E 中的点 , 则 称 P 是 E 的聚点

例如：设平面点集 E={x,y1<x2+2≤2. 考察其内点，边界点，聚点。 满足1<x2+22的一切点x,y)是E的内点 满足x+2=1的一切点x,y)是E的边界点，它们都不属于E, 满足x+2=2的一切点(x,)是E的边界点，它们都属于E: 点集E以及它的界边∂E上的一切点都是E的聚点 说明：·聚点可以属于E,也可以不属于E ·内点一定是聚点 HIGH EDUCATION PRESS

例如: 设平面点集 E={(x y)|1x 2+y 22} 考察其内点，边界点，聚点。 • 满足1x 2+y 22的一切点(x y) 是E的内点 • 满足x 2+y 2=1的一切点(x y) 是E的边界点 它们都不属于E 满足x 2+y 2=2的一切点(x y) 是E的边界点 它们都属于E • 点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点 说明： • 聚点可以属于 E , 也可以不属于 E . • 内点一定是聚点

(③)开区域及闭区域 ·若点集E的点都是内点，则称E为开集； ·若点集ED∂E,则称E为闭集； ·若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连， 则称D是连通的； ·连通的开集称为开区域，简称区域； ·开区域连同它的边界一起称为闭区域： HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

D (3) 开区域及闭区域 • 若点集 E 的点都是内点，则称 E 为开集； • 若点集 E E , 则称 E 为闭集； • 若集 D 中任意两点都可用一完全属于 D 的折线相连 , • 开区域连同它的边界一起称为闭区域. 则称 D 是连通的 ; • 连通的开集称为开区域 ,简称区域 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 。