《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十章_D10_1二重积分概念

第十章 重积分 一元函数积分学 重积分 多元函数积分学 曲线积分 曲面积分

第十章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重 积 分

第一为 第十章 二重积多的桡念与性质 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 三、二重积分的性质 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

三、二重积分的性质 第一节 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二重积分的概念与性质 第十章

一、 引例 1、曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 特点：平顶 2三f化，y) z=f(x,y) 柱体体积=？ 特点：曲顶 0 y D HIGH EDUCATION PRESS

柱体体积=底面积× 高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. z = f (x, y) D 1、曲顶柱体的体积 一、引例

1.曲顶柱体的体积 z=f(x,y) 给定曲顶柱体 底：xoy面上的闭区域D 顶：连续曲面z=f(x,y)≥0 侧面：以D的边界为准线，母线平行于z轴的柱面 问题：求其体积 解法：类似定积分解决问题的思想 “分割，近似求和，取极限' HIGH EDUCATION PRESS

解法: 类似定积分解决问题的思想: 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 问题：求其体积. “分割, 近似求和, 取极限” D

z=f(x,y) 1)“分割” 用任意曲线网分D为n个区域 △01，△02，.，△0n 以它们为底把曲顶柱体分为n个 小曲顶柱体 2)“近似求和” z=f(x,y) 在每个△σ：中任取一点(5，k),则 △'k≈f(5k,7k)△ok(k=1,2,.,n 、 r-A八5，mao HIGH EDUCATION PRESS

1) “分割” 用任意曲线网分D为 n 个区域    n , , , 1 2  以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2) “近似求和” 在每个  =   n k k k k f 1 ( , )  V f ( , ) (k 1, 2, , n)  k   k k  k =  中任取一点 则 小曲顶柱体  k ( , ) k k    k ( , ) k k f  

2)“近似求和” z=f(x,y) z=f(x,y) V=∑A≈∑5，)△a ,7 y 3)“取极限” △0 V=lim】 f5,)△o 2-→0 k=1 定义△o,的直径为 2(△ok)=max{☑DD,D∈△ok} 令2=max{(△ok)} 1≤k≤n HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

3)“取极限” ( k ) = max P1P2 P1 ,P2   k  令 max ( )  1 k k n  =      = → =  n k k k k V f 1 0 lim ( , )   机动 目录 上页 下页 返回 结束 2) “近似求和”  k ( , ) k k    k ( , ) k k f  

2.平面薄片的质量 有一个平面薄片，在xoy平面上占有区域D,其面密 度为4(x,y)∈C,计算该薄片的质量M. 分析若4(x,y)≡4（常数），设D的面积为o,则M=4o 若4(x,y)≠常数，仍可用 “分割，近似求和，取极限”解决 1)“分割” 用任意曲线网分D为n个小区域Aoi,Ao2,·,△on, 相应把薄片也分为小区域 等HIGH EDUCATION PRESS 机动目 录上页下页返回结束

2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 度为 计算该薄片的质量 M . 设D 的面积为 , 则 M =   若 仍可用 其面密 “分割, 近似求和, 取极限”解决. 1) “分割” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 , , , ,  1  2   n 相应把薄片也分为小区域 . D 机动 目录 上页 下页 返回 结束 y x 分析： 常数

2)“近似求和” 在每个△o中任取一点(5k,7k), △Mk≈u(5,刀k)△ok(k=1,2,.,n) 7=A含r5,noi 4)“取极限” M=lim ∑4(5k,7)Ao 入→>0 k=1 (5k,Ik)△OX 其中2=max{2(△ok)} lsk≤n HIGH EDUCATION PRESS 00C08 机动目录上页下页返回结束

2) “近似求和” 在每个 k 中任取一点 ( , ),  k k  =   n k k k k 1  ( , )  4) “取极限”  → = =  n k M k k k 1 0 lim  ( , )    k ( , ) k k  机动 目录 上页 下页 返回 结束 max ( ) 1 k k n  =     其中令 y x

两个问题的共性： z=f(x,y) (1)解决问题的方法、步骤相同 “分割，近似求和，取极限 (2)所求量的结构式相同“和的极限” △ 曲顶柱体体积V=m∑f5,:)△c λ→0 k=1 平面薄片的质量M=lim∑4(5k,k)Ao 20k= (5k,7k) △Ok HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

两个问题的共性： (1) 解决问题的方法、步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “分割, 近似求和, 取极限”  = → =  n k k k k V f 1 0 lim ( , )    → = =  n k M k k k 1 0 lim  ( , )   曲顶柱体体积: 平面薄片的质量: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 “和的极限”  k  k ( , )  k k y x

二、二重积分的定义及可积性 3=f(x,y) 定义：设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函 任意分成n个小闭区域 △o1,△O2,.,△on △0 其中△σ，表示第个小闭区域，也表示它的面积在每个 △o,上任取一点(5,7，)，作乘积 f(5,7,)△o,(i=1,2,3,n) 并作和∑f(5,)△o,如果当各小闭区域的直径中的最 i=l 大值入→0时，这和的极限存在，则称此极限 为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分. HIGH EDUCATION PRESS

大值 时，这和的 存在，则称此极限 并作和 如果当各小闭区域的直径中的最 上任取一点 ，作乘积 其中 表示第 个小闭区域，也表示它的面积 在每个 任意分成 个小闭区域 设 是有界闭区域 上的 将闭区域 0 ( , ) . ( , ) (i 1,2,3, , ), ( , ) . , , , ( , ) , 1 1 2 →   =       =               n i i i i i i i i i i i n f f n i n f x y D D   极限 有界函数 二、二重积分的定义及可积性 定义: 为函数 f (x,y) 在闭区域 D上的二重积分 .  k