《高等数学》课程教学资源（作业习题）第十一章

第十一章曲钱积分与曲面积分班级： 姓名： 序号： 1对孤长的曲线积分 一、填空题： 1.设L是从点L,0)到点(0,1)的直线段，则[，(x+y)d=」 2.设L是从点(L,0)到点(-1,2)的直线段，则(2x-y)k= 3.设L为右半圆周x2+y2=a2,x≥0，则[xdb= 二、计算下列对弧长的曲线积分： 1.∫(2x+3y+4)d,其中L为圆周x2+y2=1在第一象限的部分. 2.feR7k,其中L为圆周x2+y=a2、直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个 边界 3+少+山，其中r为线x=y=Cs如，：=上相应于1从0到2的这段派

第十一章 曲线积分与曲面积分 班级： 姓名： 序号： 1 1 对弧长的曲线积分 一、填空题： 1. 设 L 是从点 (1,0) 到点 (0,1) 的直线段，则 + =  x y ds L ( ) . 2. 设 L 是从点 (1,0) 到点 (−1,2) 的直线段，则 − =  x y ds L (2 ) . 3. 设 L 为右半圆周 , 0 2 2 2 x + y = a x  ，则 =  xds L . 二、计算下列对弧长的曲线积分： 1.  + + L (2x 3y 4)ds ,其中 L 为圆周 1 2 2 x + y = 在第一象限的部分. 2.  + L x y e ds 2 2 ，其中 L 为圆周 2 2 2 x + y = a 、直线 y = x 及 x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个 边界. 3. ds x y z  + + 2 2 2 1 ，其中  为曲线 t t t x = e cost, y = e sin t,z = e 上相应于 t 从 0 到 2 的这段弧

第十一幸曲线积分与曲面积分班级： 姓名： 序号： 2对坐标的曲线积分 一、填空题： 1.设L是圆x2+y2=1上从点(1,0)到点(-1,0)的半圆弧，则xdy= 2.设r是曲线x=1,y=cos,:=sm1上对应1从0到x的一段弧，则x+-止=一 二、计算下列对坐标的曲线积分： 1.∫(x2-y2,其中L是抛物线y=x2上从点(0.0)到点(2,4)的一段弧. 2.厂xd++(x+y-1)d止，其中Γ是从点，l,)到点(23,4)的一段直线 三、计算[，(x+y)+(y-x),其中L是： 1.从点(1,1)到点(4,2)的直线段 2.先沿直线从点(1,1)到点(1,2)， 然后再沿直线到点(4,2)的折线 四、，d-x,其中L为圆周x2+y2=a2(沿逆时针方向绕行). 2

第十一章 曲线积分与曲面积分 班级： 姓名： 序号： 2 2 对坐标的曲线积分 一、填空题： 1.设 L 是圆 1 2 2 x + y = 上从点 (1,0) 到点 (−1,0) 的半圆弧，则 = L xydy . 2. 设  是曲线 x = t, y = cost,z = sin t 上对应 t 从 0 到  的一段弧，则 + − =  x dx zdy ydz 2 . 二、计算下列对坐标的曲线积分： 1. x y dx L ( − ) 2 2 ，其中 L 是抛物线 2 y = x 上从点 (0,0) 到点 (2,4) 的一段弧. 2.  xdx+ ydy + (x + y −1)dz ，其中  是从点 (1,1,1) 到点 (2,3,4) 的一段直线. 三、计算  + + − L (x y)dx (y x)dy ，其中 L 是： 1.从点 (1,1) 到点 (4,2) 的直线段. 2.先沿直线从点 (1,1) 到点 (1,2) ， 然后再沿直线到点 (4,2) 的折线. 四、  − L ydx xdy ,其中 L 为圆周 2 2 2 x + y = a （沿逆时针方向绕行）

第十一章曲裁积分与曲面积分班级： 姓名： 序号： 3格林公式及其应用 一、填空题 1.设L为圆周x2+y2=9(逆时针方向)，则.(-3y+y2)dk+2x)y=_ 2设L为桶圆号+号1逆时针方向)，则e0达+)= 25 3.已知区+达+沙为某二元函数的全微分，则常数a= (x+y)2 二、计算曲线积分(2xy-x2)+(x+y2),其中L是由抛物线y=x2和y2=x所围成区域的正 向边界曲线，并验证格林公式的正确性 三、证明曲线积分(6y-y)达+(6y-3x)d山在整个xoy面内与路径无关，并计算积分值

第十一章 曲线积分与曲面积分 班级： 姓名： 序号： 3 3 格林公式及其应用 一、填空题： 1.设 L 为圆周 9 2 2 x + y = （逆时针方向），则 − + + =  x y y dx xydy L ( 3 ) 2 2 . 2.设 L 为椭圆 1 2 5 2 2 + = x y （逆时针方向），则 + =  e (ydx xdy) L xy . 3.已知 2 ( ) ( ) x y x ay dx ydy + + + 为某二元函数的全微分，则常数 a = . 二、计算曲线积分  − + + L (2xy x )dx (x y )dy 2 2 ，其中 L 是由抛物线 2 y = x 和 y = x 2 所围成区域的正 向边界曲线,并验证格林公式的正确性. 三、证明曲线积分 (6xy y )dx (6x y 3xy )dy 3 2 2 3 4 1 2 2 − + −  （ ，） （ ，） 在整个 xoy 面内与路径无关，并计算积分值

第十一章曲战积分与曲面积分班级： 姓名： 序号： 四、利用格林公式计算下列曲线积分： 1.(2x-y+4)+(5y+3x-6)d,其中L是以(0,0)，(3,0)和(3,2)为顶点的三角形正向边界. 2.[(x2-y)-(x+sn2y),其中L是在圆周y=√2x-x2上由点(0,0)到点(1，lD的一段弧 五、验证(x+2y)dk+(2x+3y)d在整个xoy面内是某一函数(x,y)的全微分，并求出这样的一个 (x,y）

第十一章 曲线积分与曲面积分 班级： 姓名： 序号： 4 四、利用格林公式计算下列曲线积分： 1.  − + + + − L (2x y 4)dx (5y 3x 6)dy ，其中 L 是以 (0,0),(3,0) 和 （3，2） 为顶点的三角形正向边界. 2. x y dx x y dy L ( ) ( sin ) 2 2 − − +  ,其中 L 是在圆周 2 y = 2x − x 上由点 （0，0） 到点 （1，1） 的一段弧. 五、验证 (x + 2y)dx + (2x + 3y)dy 在整个 xoy 面内是某一函数 u(x, y) 的全微分，并求出这样的一个 u(x, y)

第十一章曲战积分与曲面积分班级： 姓名： 序号： 4对面积的曲面积分 一、填空题： 1设Σ是上半椭球面号+号+：-1e0.已知Σ面积为4，则小449+36c达— 2.设Σ是上半球面：=Va2-x2-y,则川Va2-x2-yS=_ 二、计算川(x2+y2)S,其中Σ是锥面：=Vx2+y及平面：=1所围成的区域的整个边界曲面 三、计算∬(2xy-2x2-x+)5,其中Σ是平面2x+2y+2=6在第一卦限中的部分

第十一章 曲线积分与曲面积分 班级： 姓名： 序号： 5 4 对面积的曲面积分 一、填空题： 1.设  是上半椭球面 1 9 4 2 2 2 + + z = x y （z  0） ，已知  面积为 A ,则 + + =   (4x 9y 36z )dS 2 2 2 . 2.设  是上半球面 2 2 2 z = a − x − y ，则 − − =   a x y dS 2 2 2 . 二、计算   (x + y )dS 2 2 ，其中  是锥面 2 2 z = x + y 及平面 z =1 所围成的区域的整个边界曲面. 三、计算   (2xy− 2x − x + z)dS 2 ，其中  是平面 2x + 2y + z = 6 在第一卦限中的部分

第十一章曲钱积分与曲面权分班级： 姓名： 序号： 5对坐标的曲面积分 一、填空题： 1.设2={(x,y,:0≤x≤1,0≤y≤1,0≤：≤，Σ是长方体Ω的整个表面的外侧，则曲面积分 fxt+yd+:=】 二、计算仟xek小，其中Σ是平面x=0,y=0,:=0,x+y+:=1所围成的空间区域的整个边界曲面的 外侧. 三、计算川x比+水+d,其中Σ是柱面x2+y2-1被平面：=0及z=3所截得的在第一卦限 内的部分的前侧

第十一章 曲线积分与曲面积分 班级： 姓名： 序号： 6 5 对坐标的曲面积分 一、填空题： 1.设  ={(x, y,z)0  x 1,0  y 1,0  z 1}, 是长方体  的整个表面的外侧，则曲面积分 + + =   x dydz y dzdx z dxdy 3 3 3 . 二、计算   xzdxdy ，其中  是平面 x = 0, y = 0,z = 0, x + y + z =1 所围成的空间区域的整个边界曲面的 外侧. 三、计算   xdydz+ ydzdx + zdxdy ，其中  是柱面 1 2 2 x + y = 被平面 z = 0 及 z = 3 所截得的在第一卦限 内的部分的前侧

第十一章曲钱积分与曲面积分班级： 姓名： 序号： 6高斯公式 一、填空题： 1.设Σ是由圆锥面：=1-√x2+少与xy面所围圆锥体的整个表面的外侧，则曲面积分 f:动t+xt+小=】 二、利用高斯公式计算下列曲面积分： 1.开x止+dk+,其中Σ是介于z=0及：=3之间的圆柱体x2+y2s9的整个表面的 外侧。 2.计算川2x2山dt+(e2y+y)bk+(10-)k,其中Σ为曲面：=(x2+y)介于平面z=0与 :=2之间的部分的下侧

第十一章 曲线积分与曲面积分 班级： 姓名： 序号： 7 6 高斯公式 一、填空题： 1.设  是由圆锥面 2 2 z =1− x + y 与 xoy 面所围圆锥体的整个表面的外侧，则曲面积分 + + =   z dydz xdzdx dxdy 2 . 二、利用高斯公式计算下列曲面积分： 1. xdydz+ ydzdx + zdxdy   ， 其中  是介于 z = 0 及 z = 3 之间的圆柱体 9 2 2 x + y  的整个表面的 外侧. 2.计算 2x z dydz (z y y)dzdx (10 z )dxdy 2 2 3 + + + −   ，其中  为曲面 ( ) 2 1 2 2 z = x + y 介于平面 z = 0 与 z = 2 之间的部分的下侧