《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十二章_D12_2数项级数及审敛法

第二节 第十二章 常款项级赵的审敘法 正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节 一、正项级数及其审敛法 常数项级数的审敛法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二章

一、正项级数及其审敛法 0 如果级数 wm=a1+42++n+ 满足条件： n=1 4n≥0(n=1,2,.),称为正项级数。 S1=41≥0，S2=u1+u2≥41=S1, S3=u1+u2+u3≥u1+u2=S2 0≤S1≤S2≤S3≤.≤Sn-1≤S≤ 数列极限存在准则：单调有界数列必有极限 0 定理1.正项级数∑4n收敛，一部分和序列S, n= (n=1,2,.)有界 考HIGH EDUCATION PRESS

如果级数   n =1 un= u1 + u2 +  + un +  满足条件： u  0 ( n = 1, 2 ,  ) , n 称为正项级数。 0 , s 1 = u1  2 u1 u2 s = +  u1 3 u1 u2 u3 s = + +  u1 + u2 , 1 = s 2 = s  0  s 1  s 2  s 3    s n−1  s n  一、正项级数及其审敛法 数列极限存在准则：单调有界数列必有极限 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界

一、正项级数及其审敛法 证：“”若∑4n收敛，则{Sn}收敛，故有界 n=l n≥0，∴部分和数列{Sn}单调递增 又已知{Sn}有界故{Sn}收敛，从而∑4n也收敛 n=l 数列极限存在准则：单调有界数列必有极限 定理1.正项级数 ∑4n收敛 二部分和序列S n= (n=1,2,.)有界 学HIGH EDUCATION PRESS

一、正项级数及其审敛法 数列极限存在准则：单调有界数列必有极限 定理 1. 正项级数 收敛 部分和序列 有界 . 若 收敛 , ∴部分和数列 又已知 有界, 故 从而 故有界. 单调递增, 收敛 , 也收敛. 证: “ ” “

例列证明级数 证明：这是一个正项级数，其部分和为 Sn= 1+2 1+22 1+2” 故{s}有界，所以原级数收敛 HIGH EDUCATION PRESS

证明: 这是一个正项级数，其部分和为: 故{sn}有界，所以原级数收敛. n 2 1 2 1 2 1 2  + ++

定理2比较审敛法) 设∑un和∑yn都是正项级数， n= n=1 且un≤yn(n=1,2） (1)级数Σyn收敛，则级数 立n收敛： n=1 n=1 00 (2)级数∑4n发散，则级数∑yn发散 n=l n=1 即：大的收敛，小的一定收敛；小的发散，大的一定发散 推论：如果正项级数 ∑u和》Yn从某项N之后满 n=1 n=l 足关系式：u,≤ky,(k>0,n≥N)则定理2中的结论仍 成立。 HIGH EDUCATION PRESS

定理2 (比较审敛法) 设 和 都是正项级数， 且 u  v (n = 1,2, ) n n   n=1 n  v  n=1 n u (1) 级数 收敛，则级数 收敛； (2) 级数 发散，则级数 发散.   n=1 n v   n=1 n u   n=1 n u   n=1 n v 即: 大的收敛, 小的一定收敛; 小的发散, 大的一定发散. 推论： 如果正项级数 1 n n u  =  1 n n v  =  ( 0, ) n n u k v k n N    ,则定理2中的结论仍 和 从某项N之后满 足关系式: 成立

例2.讨论p级数1+ + +.(常数p>0) 的敛散性 结论：p一级数当p>1时收敛； 当p≤1时发散。 HIGH EDUCATION PRESS

例2. 讨论 p 级数 + p + p ++ p + n 1 3 1 2 1 1 (常数 p > 0) 的敛散性. 结论：p — 级数 当 p > 1 时收敛； 当 p  1 时发散

例2.讨论p级数1+ 2P .+*常数p>0 的敛散性 解：1)若p≤1， 22 ≥ 由比较审敛法可知： 因调和级数 发散，所以级数】 发散 n=1 n=1h 2)若p>1,因为当n-1≤x≤n时 ,故 2≤ HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束

例2. 讨论 p 级数 + p + p ++ p + n 1 3 1 2 1 1 (常数 p > 0) 的敛散性. 解: 1) 若 p 1, 因调和级数   =1 1 n n 所以p 级数 n 1  发散 , 发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由比较审敛法可知： p 1, 因为当 , 1 1 p p n x  故  − = n p n p x n n 1 d 1 1  −  n n p x x 1 d 1   − −   − = −1 −1 1 ( 1) 1 1 1 p p p n n 2) 若 时

n→0 故级数收敛，由比较审敛法知p级数收敛 结论：p一级数当p>1时收敛；当p≤1时发散。 HIGH EDUCATION PRESS

考虑级数   − −   − −  =  1 1 2 1 ( 1) 1 p p n n n 的部分和  n   + −   = − − =  1 1 1 ( 1) 1 1 p p n k k k n → 故级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 . 1 ( 1) 1 1 − + = − p n       + + + −       + −       − −1 −1 −1 −1 −1 ( 1) 1 1 3 1 2 1 2 1 1 p p p p p n n  1  − = n p n p x n n 1 d 1 1   − −   − = −1 −1 1 ( 1) 1 1 1 p p p n n  −  n n p x x 1 d 1 结论：p — 级数当 p > 1 时收敛；当 p  1 时发散

比较审敛法的不便：须有参考级数： 调和级数，p级数，等比级数是常用的比较级数 例如： 04n≥则∑n发散： n n=1 ②sp>),则24，收微 n=1 HIGH EDUCATION PRESS

调和级数, p 级数, 等比级数是常用的比较级数. 例如： 比较审敛法的不便: 须有参考级数

例3正明级数 是发散的： 台√n(n+) 证明：n+1)<(n++ n+1 而级数三1 1 n=n+1 2 +.是发散的； n+1 由比较判别法可知，所给级数也发散 HIGH EDUCATION PRESS

. ( 1) 1 3 1 例 证明级数 是发散的  n= n n + 2 证明： ( 1) ( 1) n n n +  + 1 1 ( 1) 1 +  +  n n n 由比较判别法可知，所给级数也发散.  + + = + + + +   = 1 1 3 1 2 1 1 1 n 1n n 而级数 是发散的；