《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第十一章_D11_3格林公式

第三节 第十一章 格林公式及其应用 格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 三、二元函数的全微分求积 HIGH EDUCATION PRESS 下页返回结束

第三节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 机动 目录 上页 下页 返回 结束 格林公式及其应用 第十一章 三、二元函数的全微分求积

问题的提出 牛顿-莱布尼茨公式 ∫Bf(x)k=F(b)-F(a 意义：定积分可通过其原函数在 区间端点上的函数值来表达 问题：二重积分 f∬f(x,y)dxdy 能否表达为某个函数在D的边界 曲线L上的曲线积分？ HIGH EDUCATION PRESS

问题的提出 f ( x)dx F(b) F(a) b a 牛顿-莱布尼茨公式  = − 定积分可通过其原函数在 区间端点上的函数值来表达 x y 0 D L ( , ) d d D f x y x y 问题：二重积分  能否表达为某个函数在D的边界 曲线L上的曲线积分？ 意义：

预备知识-区域连通性的分类： 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围成的 部分都属于D,则称D为平面单连通区域，否则称为 复连通区域 单连通区域 复连通区域 复连通区域 单连通区域（无“洞”区域） 区域D分类 多连通区域（有”洞”、点洞区域） HIGH EDUCATION PRESS

设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的 部分都属于D , 则称D为平面单连通区域, 否则称为 复连通区域. 单连通区域 复连通区域 D D 预备知识-区域连通性的分类: • D 复连通区域 区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 ) 多连通区域 ( 有“洞”、点洞区域 )

预备知识-·域D边界L的正向 当观察者在L上行走时 D内在他近处的部分总在他的左边。 >外边界的正向是逆时针 内边界的正向是顺时针 HIGH EDUCATION PRESS

L D 当观察者在 L 上行走时， D 内在他近处的部分总在他的左边。 域 D 边界L 的正向 ➢ 外边界的正向是逆时针 ➢ 内边界的正向是顺时针 预备知识-

格林公式 定理1.设闭区域D是由分段光滑正向曲线L围成， 函数P(x,y),Q(x,y)在D上具有连续一阶偏导数 则有 八g-号ad=frs+0,（*, HIGH EDUCATION PRESS

定理1. 设闭区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有    = +        −   D L x y P x Q y y P x Q d d d d ( 格林公式 ) 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 一、 格林公式

证明思略： 1)若D既是X-型区域，又是Y-型区域，且 【装ay-f.0x -儿8ad-fPr心x,n: ② ① ②两式相加得 心，是-影d-f+0y 2)若D不满足以上条件， 分割区域D为有限个上述形式的区域 HIGH EDUCATION PRESS O◆008 定理1目录上页下页返回结束

证明思路： ① ② ①、②两式相加得: ( )   = +   −   D L x y P x Q y y P x Q d d d d 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 2) 若D不满足以上条件, 分割区域 D 为有限个上述形式的区域

证明：1)若D既是X-型区域，又是Y-型区域，且 D: p1(x)≤y≤02(x) a≤x≤b 4y)≤x≤Ψ2(y) x=(y S人 c≤y≤d 则器adw=-ar h x -[Q(w2().y)dy-["Q().)dy =∫cB0x,dy-「cc(xi =S(.y+∫Eac0(x,=④0xma HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束

证明: 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且        a x b x y x D ( ) ( ) : 1  2 则 x y x Q D d d     = d c Q( ( y), y )dy  2   ( )  ( ) 2 1 d y y x x  Q   = CBE Q(x, y)dy  + EAC Q(x, y)dy  − d c Q( ( y), y )dy 1  = d c dy d c y o x E C A B a b D 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 2 x y = ( )

即 是ad-fexa ① 同理可证 -dat-fPxarx ② ① ②两式相加得 )ydy HIGH EDUCATION PRESS 定理1目录上页下页返回结束

即 同理可证 ① ② ①、②两式相加得: ( )   = +   −   D L x y P x Q y y P x Q d d d d 定理1 目录 上页 下页 返回 结束

2)若D不满足以上条件，则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域，如图》 0 =Pdk+Qdy+Pd+d)Pds+Qdy+ScPdx+Ody) +Pk++∫Pk+d)=∮hPh+0w Pdx Qdy 格林公式仍成立 证毕 HIGH EDUCATION PRESS

1 L L L2 L3 D D1 D2 D3 x y 0 A B C E G F 1 ( ) D Q P dxdy x y   = −    2 ( ) D Q P dxdy x y   + −    3 ( ) D Q P dxdy x y   + −    L L L 1 2 3 Pdx Qdy + + = + Ñ L = + Pdx Qdy Ñ 格林公式仍成立 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 , 如图 ( ) x y y P x Q D d d   −    1 ( ) L BA = + + + Pdx Qdy Pdx Qdy   2 ( ) L CB + + + + Pdx Qdy Pdx Qdy   3 ( ) L AC + + + + Pdx Qdy Pdx Qdy   证毕

xdy-fPdx+Ody 几点说明 >若D为复连通区域： 则曲线应包括内外所有边界 L=L1+L2+L3并且取正向 >格林公式的实质： 建立了平面上的曲线积分与二重积分的联系， 是牛顿莱布尼茨公式在平面上的推广。 >主要用途：实现曲线积分与二重积分之间的转换 (1)利用格林公式求曲线或二重积分 (2)利用曲线积分计算平面区域的面积 HIGH EDUCATION PRESS

L3 L2 几点说明： ➢若D为复连通区域： 则曲线 L1 L 应包括内外所有边界 L = L1 + L2 + L3 并且取正向. ➢格林公式的实质： ➢主要用途：实现曲线积分与二重积分之间的转换 D    = +        −   D L x y P x Q y y P x Q d d d d 建立了平面上的曲线积分与二重积分的联系， 是牛顿莱布尼茨公式在平面上的推广。 （2）利用曲线积分计算平面区域的面积 （1）利用格林公式求曲线或二重积分